Тема 7. Множества. Числовые множества. Функция.

Под множеством понимают некоторую совокупность объектов любой природы, различимых между собой и мыслимую как единое целое. Объекты, составляющие множество называют его элементами. Множество может быть бесконечным (состоит из бесконечного числа элементов), конечным (состоит из конечного числа элементов), пустым (не содержит ни одного элемента). Множества обозначают: , а их элементы: . Пустое множество обозначают .

Множество называют подмножеством множества , если все элементы множества принадлежат множеству и пишут . Множества и называют равными, если они состоят из одних и тех же элементов и пишут . Два множества и будут равны тогда и только тогда, когда и .

Множество называют универсальным (в рамках данной математической теории), если его элементами являются все объекты, рассматриваемые в данной теории.

Множество можно задать: 1) перечислением всех его элементов, например: (только для конечных множеств); 2) заданием правила определения принадлежности элемента универсального множества , данному множеству : .

Объединением множеств и называется множество

.

Пересечением множеств и называется множество

.

Разностью множеств и называется множество

.

Дополнением множества (до универсального множества ) называется множество .

Два множества и называются эквивалентными и пишут ~, если между элементами этих множеств может быть установлено взаимно однозначное соответствие. Множество называется счётным, если оно эквивалентно множеству натуральных чисел : ~. Пустое множество по определению относится к счётным.

Понятие мощности множества возникает при сравнении множеств по числу содержащихся в них элементов. Мощность множества обозначают . Мощностью конечного множества является число его элементов.

Эквивалентные множества обладают равной мощностью. Множество называется несчётным, если его мощность больше мощности множества .

Действительным (вещественным) числом называется бесконечная десятичная дробь, взятая со знаком «+» или «». Действительные числа отождествляют с точками числовой прямой. Модулем (абсолютной величиной) действительного числа называется неотрицательное число:

Множество называется числовым, если его элементами являются действительные числа.Числовыми промежутками называются множества чисел:,,,,,,,,.

Множество всех точек на числовой прямой, удовлетворяющих условию , где - сколь угодно малое число, называется -окрестностью (или просто окрестностью) точки и обозначается . Множество всех точек условием , где - сколь угодно большое число, называется -окрестностью (или просто окрестностью) бесконечности и обозначается .

Величина, сохраняющая одно и тоже числовое значение, называется постоянной. Величина, принимающая различные числовые значения, называется переменной. Функцией называется правило, по которому каждому числу ставится в соответствие одно вполне определённое число , и пишут . Множество называется областью определения функции, - множеством (или областью) значений функции, - аргументом, - значением функции. Наиболее распространённым способом задания функции является аналитический способ, при котором функция задаётся формулой. Естественной областью определения функции называется множество значений аргумента , для которого данная формула имеет смысл. Графиком функции , в прямоугольной системе координат , называется множество всех точек плоскости с координатами , .

Функция называется чётной на множестве , симметричном относительно точки , если для всех выполняется условие: и нечётной, если выполняется условие . В противном случае - функция общего вида или ни чётная, ни нечётная.

Функция называется периодической на множестве , если существует число (период функции), такое, что для всех выполняется условие: . Наименьшее число называется основным периодом.

Функция называется монотонно возрастающей (убывающей) на множестве , если большему значению аргумента соответствует большее (меньшее) значение функции .

Функция называется ограниченной на множестве , если существует число , такое, что для всех выполняется условие: . В противном случае функция - неограниченная.

Обратной к функции , , называется такая функция , которая определена на множестве и каждому

ставит в соответствие такое , что . Для нахождения функции , обратной к функции , нужно решить уравнение относительно . Если функция , является строго монотонной на , то она всегда имеет обратную, при этом, если функция возрастает (убывает), то обратная функция также возрастает (убывает).

Функция , представляемая в виде , где , - некоторые функции такие, что область определения функции содержит всё множество значений функции , называется сложной функцией независимого аргумента . Переменную называют при этом промежуточным аргументом. Сложную функцию называют также композицией функций и , и пишут: .

Основными элементарными функциями считаются: степенная функция , показательная функция (, ), логарифмическая функция (, ), тригонометрические функции , , , , обратные тригонометрические функции , , , . Элементарной называется функция, полученная из основных элементарных функций конечным числом их арифметических операций и композиций.

Если задан график функции , , то построение графика функции сводится к ряду преобразований (сдвиг, сжатие или растяжение, отображение) графика _:

_{1) преобразование симметрично отображает график , относительно оси ; 2) преобразование симметрично отображает график , относительно оси ; 3) преобразование сдвигает график по оси на единиц (- вправо, - влево); 4) преобразование сдвигает график по оси на единиц (- вверх, - вниз); 5) преобразование график вдоль оси растягивает в раз, если или сжимает в раз, если ; 6) преобразование график вдоль оси сжимает в раз, если или растягивает в раз, если .}

_{Последовательность преобразований при построении графика функции} можно представить символически в виде:

.

Примечание. При выполнении преобразования следует иметь в виду, что величина сдвига вдоль оси определяется той константой, которая прибавляется непосредственно к аргументу , а не к аргументу .

Графиком функции является парабола с вершиной в точке , ветви которой направлены вверх, если или вниз, если . Графиком дробно-линейной функции является гипербола с центром в точке , асимптоты которой проходят через центр, параллельно осям координат.

В некоторых случаях при построении графика функции целесообразно разбить её область определения на несколько непересекающихся промежутков и последовательно строить график на каждом из них. Например, при построении графика функции, в аналитическое выражение которой входит функция , следует выделить и рассмотреть отдельно промежутки, на которых выражение под знаком модуля не меняет знак.

График функции можно построить, предварительно построив графики функций и , а затем сложив их ординаты при одинаковых значениях .