- •1) Евклидово т- мерное пространство. Вектора.
- •2) Произведение и длина вектора
- •3) Матрица
- •4) Перемножение матриц. Различные виды.
- •6) Определитель n-го порядка
- •7) Свойства определителя
- •9) Основные определения системы уравнений
- •11) Обратная матрица
- •13) Ранг матрицы
- •14) Теорема кронекера-Капелли
- •15) Базисы. Ортогональные базисы
- •16) Операторы, их св-ва
7) Свойства определителя
1. detA=detAT - св-во равноправ. стр. и столб.
| a1 b1 c1 | | a1 a2 a3 |
| a2 b2 c2 | = | b1 b2 b3|
| a3 b3 c3 | | c1 c2 c3 |
2. | a1 b1 c1 | | b1 a1 c1 |
| a2 b2 c2 | = - | b2 a2 c2 |
| a3 b3 c3 | | b3 a3 c3 |
3. | a1 a1 c1 |
| a2 a2 c2 | = 0
| a3 a3 c3|
4. | ka1 b1 c1 | | a1 b1 c1 |
| ka2 b2 c2 | = k | a2 b2 c2 |
| ka3 b3 c3 | | a3 b3 c3 |
5. k=0 | 0 b1 c1 |
| 0 b2 c2 | = 0
| 0 b3 c3 |
6. | a1 ka1 c1 |
| a2 ka2 c2 | = 0
| a3 ka3 c3 |
7. | a1’ b1 c1 | | a1” b1 c1 | | a1’+ a1” b1 c1 |
| a2’ b2 c2 | + | a2” b2 c2 | = | a2’+ a2” b2 c2 |
| a3’ b3 c3 | | a3” b3 c3 | | a3’+ a3” b3 c3 |
8. | a1+kb1 b1 c1 | | a1 b1 c1 |
| a2+kb2 b2 c2 | = | a2 b2 c2 |
| a3+kb3 b3 c3 | | a3 b3 c3 |
9. Δ=ΣiaijAij= ΣjaijAij Aij=(-1)i+j·Mij
| a1 b1 c1 |
| a2 b2 c2 | = a1(-1) | b2 c2| + a2(-1)2+1| b1 c1| + a3(-1)3+1| b1 c1|
| a3 b3 c3 | | b3 c3| | b3 c3| | b2 c2|
9) Основные определения системы уравнений
Системой линейных алгебраических уравнений, содержащей m уравнений и n неизвестных, называется система вида: {(a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1) (a21x1+a22x2+…+a1nxn=b2)….. (am1x1+am2x2+…+amnxn=bm), где числа aij, i=1..m, j=1..n называются коэффициентами системы, числа bi – свободными членами. Такую систему удобно записывать в компактной матричной форме AX=B. А – матрица коэффициентов системы, называемая основной матрицей. X – вектор столбец из неизвестных xj. В – вектор-столбец из свободных членов bi.
Расширенной матрицей системы называется матрица А системы, дополненная столбцом свободных членов.
Решением системы называется n значений неизвестных x1=c, x2=x2 ,…,xn=cn, при подстановке которых все уравнения системы обращаются в верные равенства. Системы уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет ни одного решения. Совместная система называется определённой, если она имеет единственное решение, и неопределённой, если она имеет более одного решения. В последнем случае каждое её решение называется частным решением системы.
Решить систему – это значит выяснить, совместна она или несовместна. Если система совместна, найти её общее решение.
Две системы н называются эквивалентными (равносильными), если они имеют одно и то же общее решение. Система линейных уравнений называется однородной, если все свободные члены равны нулю.
11) Обратная матрица
Будем рассматриват квалратные матрицы n-ого порядка
ОПР.
Матрица В назыв оьратной матрице А если АВ=ВА=Е
Обозначается А^(-1)
Можно доказать что чтобы матрица имела обратную необходимо и достаточно чтобы d(A) не =0 (определитель)
Правило:
Чтобы вычислить обратную матрицу нужно: заменить в матрице А все элементы их алгбраического дополнения
Протранспонир полученную матрицу
Поделить на определитель исходной матрицы.
ПРИМЕР А =(37) A^(v)= (4 -2) А^(-1)=-1/2*(4 -7)=1/2*(-4 7)
(2 4 ) (-7 3)
(-2 3) (2 -3 )
A^(vt) =(4 -7) d(A) = 3*4 –7*2=-2
(-2 3)