13) Ранг матрицы

Рангом матрицы называется число элементов максимально линейно независимой подсистемы системы её столбцов.

Рангом матрицы называется наибольший из порядков миноров данной матрицы, отличных от нуля.

Минор, порядок которого определяет ранг матрицы, называется базисным.

Ранг ненулевой матрицы равен наивысшему порядку её отличного от нуля минора.

РАНГ МАТРИЦЫ И ЕГО ВЫЧИСЛЕНИЕ.

Рассмотрим произвольную матрицу размером MxN:

(MxN) (4x5) (1£ k£ N, 1£ k £ N)

Выделим какие либо K строк и K столбцов, а остальные вычеркнем.

Определитель, лежащий на пересечении оставшихся строк и столбцов называется минором.

У матрицы С 5 миноров высшего порядка. Много миноров 3-го и 2-го порядка и 20 миноров 1-го порядка. Некоторые из них равны 0, некоторые отличны от 0.

Пусть R такое число, что все миноры порядка R+1=0 или их вообще нет, а среди миноров порядка R есть хотя бы один неравный 0, тогда число R называется рангом матрицы, так у матрицы С все миноры 4-го порядка равны 0, а минор 3-го порядка, стоящий в левом верхнем углу не равен 0, значит ранг матрицы С:

Rg C= R= 3.

Опр. Рангом матрицы называется наивысший порядок неравных нулю миноров. Для вычисления ранга имеется 2 метода:

• метод окаймляющих миноров

метод элементарных преобразований.

14) Теорема кронекера-Капелли

Теорема Кронекера-Капелли. Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг её основной матрицы равен рангу расширенной матрицы. Док-во. Запишем систему линейных уравнений в векторной форме: x₁a¹+x₂a²+…+x_naⁿ=b, где a¹,…, aⁿ – столбцы основной матрицы A, b – вектор-столбец свободных членов. Расширенную матрицу системы обозначим через B. Рассматриваемая система совместна тогда и только тогда, когда вектор b является линейной комбинацией векторов система {a}. Значит ранги систем равны a1, a2,…,an и a1, a2,…, an, b. По определению ранга матрицы, ранги этих систем равны соответственно r(A) и r(B). Итак, рассматриваемая система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда r(A)=r(B).

15) Базисы. Ортогональные базисы

Упорядоченная, линейно не зависимая система векторов называется базисом пространства, если любой вектор пространства линейно выражается через векторы этой системы.

{b¹,…, b^k} - базис 

1) лин.незав.

2) Любой вектор пространства выражается через вектор система

x = c₁b¹ + c₂b² +…+ c_kb^k

Rⁿ: E = {b¹,…, b^k} – базис

Система основных ортов – базис этот базис.

Базис, векторы, которого образуют ортогональную (ортонормированную) систему называют ортогональным (ортонормированным).

B = {b¹,…, b^k} – базис

B – ортогональный

0 при ij

<bⁱ, b^j> = ||bⁱ||² 0, i=j

B – ортонормированный

0, ij

g_ij = <bⁱ,b^j> = 1, i=j

16) Операторы, их св-ва

Пусть L – линейное пространство над полем P. Отображения, действующие из L в L, будем называть операторами.

Оператор A:L->L называется линейным, если для любых векторов x,yL и любого числа P выполняются условия: 1) A(x+y)=Ax+Ay; 2) A(x)= Ax.

Св-ва. 1. А0=0. Действительно, учитывая, что для любого вектора xL 0*x=0, получаем: A0=A(0*0)=0*A0=0.

2. Для любых 1, 2,…, nP, x1, x2,…, xnL (n>=1) выполняется равенство: A(sum(k*xk)(k=1..n)) = sum(k*Axk) (k=1..n).

Пример. Пусть М – вещественная квадратная матрица порядка n. Рассмотрим оператор А, действующий в пространстве Rⁿ по правилу: Ax=Mx. Линейность оператора А следует из хорошо известных свойств операции умножения матрицы на вектор: A(x+y)=M(x+y)=M(x)+M(y)= Mx+My=Ax+Ay.

Пусть L – конечномерное линейное пространство над полем P, А – линейный оператор, действующий в этом пространстве, Выберем в пространстве L произвольный базис e1, e2,…, en. Рассмотрим векторы Ae1, Ae2,…, Aen. Каждый из этих векторов можно однозначно представить в виде линейной комбинации векторов базиса, т.е. имеют место представления:

Ae1=a11e1+a21e2+…+an1en,

Ae2=a12e1+a22e2+…+an2en,

……………………………….

Aen=a1ne1+a2ne2+…+annen, где коэффициенты aij принадлежат полю P. Матрица из этих элементов называется матрицей линейного оператора А в базисе {e};