-
Метод начальных параметров при расчете балки на изгиб
В качестве исходного в методе начальных параметров применяется дифференциальное уравнение изгиба оси балки 4го порядка:
,
где
EI – жесткость балки, v – прогиб, q – нагрузка.
Это уравнение устанавливает зависимость между прогибом балки v и внешней нагрузкой q, так что оказывается возможным найти изогнутую ось балки непосредственно по виду внешней нагрузки, не прибегая к предварительному её статическому расчету и не составляя выражения изгибающего момента по участкам. Решение уравнения имеет вид:
,
где
С1, С2, С3, С4 – произвольные постоянные интегрирования,
Vнеодн (x) – частное решение неоднородного уравнения.
По сути метода начальных параметров
произвольным постоянным интегрирования
придан физический смысл, заключающийся
в том, что погиб в начале координат есть
постоянная С4, уменьшенная
в EI раз, т.е.
;
угол наклона оси балки в начале координат
есть постоянная C3,
уменьшенная в EI раз, т.е.
;
изгибающий момент в начале координат
есть постоянная C2
с противоположным знаком
;
перерезывающая сила пост. С1
с противоположным знаком
.
Введем обозначения:
Таким образом:
Зная вид нагрузки и условия закрепления балки, приходим к уравнению, определяющему прогиб в любой точке оси балки.
Для определения изгибающего момента и перерезывающей силы используются известные соотношения сопротивления материалов:
,т.е.
Нужно дифференцировать выражения для прогиба по x.
-
Применение метода начальных параметров к поставленной задаче
Рис. 1. Схема балки
Так как нагрузка равномерно распределена
по всей длине балки, то
,
а учитывая то, что балка закреплена
жестко закреплена с обоих концов →
прогиб и угол поворота равняется нулю
(
).
Примя во внимание условие задачи получим:
.(2.1)
Так как балка закреплена жестко то
,
следовательно:
Продифференцировав (2.1) получим:
Приравняем к нулю:
Получаем систему уравнений:
Выполним необходимые преобразования:
(2.2)
Подставив известные значения получим:
; →
Для получения зависимости изгибающего
момента от координаты
нужно взять вторую производную от прогиба:
Формула изгибающего момента:
(2.3)
Для получения зависимости перерезывающей
силы от координаты
нужно взять третью производную от прогиба:
Формула перерезывающей силы
(2.4)
Аналитические выражения зависимостей:
(2.5)
(2.6)
-
Построение эпюр средствами электронных таблиц microsoft excel.
Для решения системы (2. 2) используем матричный способ решения системы линейных алгебраических уравнений. В Excel заносим в ячейки В2 и В3 исходные данные для расчета (рис 2.). В ячейках А6-В7, D6-D7 вычисляем коэффициенты и столбец свободных членов системы линейных алгебраических уравнений (2.2). Определяем обратную матрицу в диапазоне ячеек А10-В11. В ячейках D10-D11 вычисляем начальные значения M0 и Q0 как результат умножения обратной матрицы на столбец свободных членов.
|
|
A |
B |
C |
D |
|
|
1 |
Исходные данные |
|
|
||
|
2 |
q |
35 |
|
|
|
|
3 |
l |
3 |
|
|
|
|
4 |
Решение системы для определения M0 и Q0 |
||||
|
5 |
Матрица коэффициентов |
|
Свободные члены |
||
|
6 |
4,5 |
4,5 |
|
118,125 |
|
|
7 |
-3 |
-4,5 |
|
-157,5 |
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
9 |
Обратная матрица |
|
|
||
|
10 |
0,667 |
0,667 |
M0 |
-26,25 |
|
|
11 |
-0,444 |
-0,667 |
Q0 |
52,5 |
|
Рис.2 Фрагмент таблицы Excel с исходными данными расчета в режиме отображения чисел
|
|
A |
B |
C |
D |
|
|
1 |
Исходные данные |
|
|
||
|
2 |
q |
35 |
|
|
|
|
3 |
l |
3 |
|
|
|
|
4 |
Решение системы для определения M0 и Q0 |
||||
|
5 |
Матрица коэффициентов |
|
Свободные члены |
||
|
6 |
=B3^2/2 |
=B3^3/6 |
|
=B2*B3^4/24 |
|
|
7 |
=-B3 |
=-(B3^2/2) |
|
=-(B2*B3^3/6) |
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
9 |
Обратная матрица |
|
|
||
|
10 |
=МОБР(A6:B7) |
=МОБР(A6:B7) |
M0 |
=МУМНОЖ(A10:B11;D6:D7) |
|
|
11 |
=МОБР(A6:B7) |
=МОБР(A6:B7) |
Q0 |
=МУМНОЖ(A10:B11;D6:D7) |
|
Рис.3 Фрагмент таблицы Excel с исходными данными расчета в режиме отображения формул
В ячейки F14–F26 заносятся значения координаты x, для которых будут вычисляться смещения, угол поворота, изгибающие моменты и перерезывающая сила. В ячейках G14-G26 вычисляется прогиб по формуле (2.5). В ячейках H14-H26 вычисляется угол поворота точек оси балки по формуле (2.6). В ячейках I14-I26 вычисляется изгибающий момент точек оси балки по формуле (2.3). В ячейках J14-J26 вычисляется перерезывающая сила точек оси балки по формуле (2.4).
-
F
G
H
I
J
13
x
EIv
EIv'
M
Q
14
0,00
0,00
0,00
-26,25
52,50
15
0,25
0,69
5,01
-14,22
43,75
16
0,50
2,28
7,29
-4,38
35,00
17
0,75
4,15
7,38
3,28
26,25
18
1,00
5,83
5,83
8,75
17,50
19
1,25
6,98
3,19
12,03
8,75
20
1,50
7,38
0,00
13,13
0,00
21
1,75
6,98
-3,19
12,03
-8,75
22
2,00
5,83
-5,83
8,75
-17,50
23
2,25
4,15
-7,38
3,28
-26,25
24
2,50
2,28
-7,29
-4,38
-35,00
25
2,75
0,69
-5,01
-14,22
-43,75
26
3,00
0,00
0,00
-26,25
-52,50
Рис. 4 Фрагмент таблицы Excel с решением системы в режиме отображения чисел
-
F
G
13
x
EIv
14
0
=-$D$10*F14^2/2-$D$11*F14^3/6+$B$2*F14^4/24
15
0,25
=-$D$10*F15^2/2-$D$11*F15^3/6+$B$2*F15^4/24
16
0,5
=-$D$10*F16^2/2-$D$11*F16^3/6+$B$2*F16^4/24
17
0,75
=-$D$10*F17^2/2-$D$11*F17^3/6+$B$2*F17^4/24
18
1
=-$D$10*F18^2/2-$D$11*F18^3/6+$B$2*F18^4/24
19
1,25
=-$D$10*F19^2/2-$D$11*F19^3/6+$B$2*F19^4/24
20
1,5
=-$D$10*F20^2/2-$D$11*F20^3/6+$B$2*F20^4/24
21
1,75
=-$D$10*F21^2/2-$D$11*F21^3/6+$B$2*F21^4/24
22
2
=-$D$10*F22^2/2-$D$11*F22^3/6+$B$2*F22^4/24
23
2,25
=-$D$10*F23^2/2-$D$11*F23^3/6+$B$2*F23^4/24
24
2,5
=-$D$10*F24^2/2-$D$11*F24^3/6+$B$2*F24^4/24
25
2,75
=-$D$10*F25^2/2-$D$11*F25^3/6+$B$2*F25^4/24
26
3
=-$D$10*F26^2/2-$D$11*F26^3/6+$B$2*F26^4/24
Рис. 5(а). Фрагмент таблицы Excel с вычислениями прогиба в режиме отображения формул
|
D10 |
-26,25 |
|
D11 |
52,5 |
|
B2 |
35 |
Рис. 5(б) Фрагмент таблицы Excel для удобства проверки
|
|
F |
H |
|
13 |
x |
EIv' |
|
14 |
0 |
=-$D$10*F14-$D$11*F14^2/2+$B$2*F14^3/6 |
|
15 |
0,25 |
=-$D$10*F15-$D$11*F15^2/2+$B$2*F15^3/6 |
|
16 |
0,5 |
=-$D$10*F16-$D$11*F16^2/2+$B$2*F16^3/6 |
|
17 |
0,75 |
=-$D$10*F17-$D$11*F17^2/2+$B$2*F17^3/6 |
|
18 |
1 |
=-$D$10*F18-$D$11*F18^2/2+$B$2*F18^3/6 |
|
19 |
1,25 |
=-$D$10*F19-$D$11*F19^2/2+$B$2*F19^3/6 |
|
20 |
1,5 |
=-$D$10*F20-$D$11*F20^2/2+$B$2*F20^3/6 |
|
21 |
1,75 |
=-$D$10*F21-$D$11*F21^2/2+$B$2*F21^3/6 |
|
22 |
2 |
=-$D$10*F22-$D$11*F22^2/2+$B$2*F22^3/6 |
|
23 |
2,25 |
=-$D$10*F23-$D$11*F23^2/2+$B$2*F23^3/6 |
|
24 |
2,5 |
=-$D$10*F24-$D$11*F24^2/2+$B$2*F24^3/6 |
|
25 |
2,75 |
=-$D$10*F25-$D$11*F25^2/2+$B$2*F25^3/6 |
|
26 |
3 |
=-$D$10*F26-$D$11*F26^2/2+$B$2*F26^3/6 |
Рис 6. Фрагмент таблицы Excel с вычислениями угла поворота в режиме отображения формул
|
|
F |
I |
|
13 |
x |
M |
|
14 |
0 |
=$D$10+$D$11*F14-$B$2*F14^2/2 |
|
15 |
0,25 |
=$D$10+$D$11*F15-$B$2*F15^2/2 |
|
16 |
0,5 |
=$D$10+$D$11*F16-$B$2*F16^2/2 |
|
17 |
0,75 |
=$D$10+$D$11*F17-$B$2*F17^2/2 |
|
18 |
1 |
=$D$10+$D$11*F18-$B$2*F18^2/2 |
|
19 |
1,25 |
=$D$10+$D$11*F19-$B$2*F19^2/2 |
|
20 |
1,5 |
=$D$10+$D$11*F20-$B$2*F20^2/2 |
|
21 |
1,75 |
=$D$10+$D$11*F21-$B$2*F21^2/2 |
|
22 |
2 |
=$D$10+$D$11*F22-$B$2*F22^2/2 |
|
23 |
2,25 |
=$D$10+$D$11*F23-$B$2*F23^2/2 |
|
24 |
2,5 |
=$D$10+$D$11*F24-$B$2*F24^2/2 |
|
25 |
2,75 |
=$D$10+$D$11*F25-$B$2*F25^2/2 |
|
26 |
3 |
=$D$10+$D$11*F26-$B$2*F26^2/2 |
Рис. 7. Фрагмент таблицы Excel с вычислениями изгибающего момента оси балки в режиме отображения формул
-
F
J
13
x
Q
14
0
=$D$11-$B$2*F14
15
0,25
=$D$11-$B$2*F15
16
0,5
=$D$11-$B$2*F16
17
0,75
=$D$11-$B$2*F17
18
1
=$D$11-$B$2*F18
19
1,25
=$D$11-$B$2*F19
20
1,5
=$D$11-$B$2*F20
21
1,75
=$D$11-$B$2*F21
22
2
=$D$11-$B$2*F22
23
2,25
=$D$11-$B$2*F23
24
2,5
=$D$11-$B$2*F24
25
2,75
=$D$11-$B$2*F25
26
3
=$D$11-$B$2*F26
Рис. 8. Фрагмент таблицы Excel с вычислениями перерезывающей силы оси балки в режиме отображения формул
Для построения эпюр воспользуемся мастером диаграмм:
Аналитическое выражение, показывающее зависимость напряжения от x:
Рис.9 Эпюра прогиба оси балки
Аналитическое выражение, показывающее зависимость угла поворота от x:
Рис. 10. Эпюра угла поворота оси балки
Аналитическое выражение, показывающее зависимость изгибающего момента от x:
Рис. 11. Эпюра изгибающего момента оси балки
Аналитическое выражение, показывающее зависимость изгибающего момента от x:
Рис. 12. Эпюра перерезывающей силы оси балки