-0-

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИйской федерации

ГОУ ВПО «Пермский государственный университет»

Кафедра высшей математики

Высшая математика

Учебное пособие с заданиями для самостоятельной работы

Пермь 2007

Составитель: ст. преп. Л.С. Старостина

УДК 517.0

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА: Учеб. пособие с заданиями для самост. работы: В 2-х ч. Ч. 1/ Перм. ун-т; Сост. Л.С. Старостина. – Пермь, 2007. – ХХХ с.

Составлено в соответствии с учебной программой курса «Математика» для студентов дневного и заочного отделения философско-социологического факультета.

Предназначено для аудиторной и самостоятельной работы студентов.

Печатается по постановлению методической комиссии механико-математического факультета Пермского университета.

Редактор Г.А.Гусман

Корректор К.Н.Бобкова

Подписано в печать 9.03.2005. Формат 60х84 1/16.

Бум. офс. Печать офсетная. Усл. печ. л. 2,09.

Уч.-изд. л. 2,0. Тираж 300 экз. Заказ

Редакционно-издательский отдел Пермского университета

614990 Пермь, ул. Букирева, 15

Типография Пермского университета

614990 Пермь, ул. Букирева, 15

Математику уже затем учить следует, что она ум в порядок приводит.

М.В. Ломоносов

Предисловие

Математика является необходимой частью образования студентов философско-социологического факультета.

Изучение математики:

• помогает понимать основы современной математики;

• помогает укреплению основ логического мышления;

• дает знания, необходимые для самостоятельного изучения и разработки количественных аспектов гуманитарных проблем.

Данное учебное пособие написано в соответствии с требованиями государственных общеобразовательных стандартов в области математики для специалистов с высшим образованием по специальности “Социология”, “Психология”, “Философия”. Оно соответствует программе дисциплины “Математика” и включает следующие разделы: “Основы теории множеств”, “Элементы линейной алгебры”, “Элементы аналитической геометрии”, “Элементы математического анализа”, “Основы дифференциального исчисления”, “Основы интегрального исчисления”, “Основы теории обыкновенных дифференциальных уравнений”, “Функция нескольких переменных”, “Ряды”, “Элементы теории вероятности и математической статистики”. Учебное пособие может использоваться студентами других гуманитарных специальностей, например, исторического, филологического и др. факультетов вузов.

Учебное пособие рассчитано на уровень подготовки студентов 1 курса и практически не требует дополнительной информации. Теоретический материал всюду, где возможно, сопровождается наглядными иллюстрациями и многочисленными практическими примерами. В конце каждой главы в рубрике “Упражнения ” даются задачи, ответы к которым приведены в конце книги. Нумерация задач единая – начинается в основном тексте главы и продолжается в этой рубрике.

Раздел 1 основы теории множеств

Глава 1. Множества

1.1. Понятие множества

Понятие множества – одно из основных первичных понятий современной математики, поэтому оно не имеет формального определения. Оно возникло как абстракция того факта, что предметы и явления материального мира существуют не изолированно, а в составе совокупностей. Можно говорить о множестве студентов в аудитории, множестве точек на плоскости, множестве рациональных чисел и т.д.

Каждое множество состоит из элементов. В зависимости от числа элементов множества делятся на конечные и бесконечные. Например, множество натуральных чисел содержит бесконечное число элементов, а множество сторон многоугольника состоит из конечного числа элементов. Конечные множества могут состоять из одного или нескольких элементов. Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается знаком Ø.

Множества обозначаются заглавными буквами латинского алфавита, например: . Элементы множеств обозначаются строчными латинскими буквами, например: a, b, c, …,x. Для записи множества используют фигурные скобки, а элементы множества отделяют друг от друга запятыми (точками с запятой).

Пример 1.1. – конечное множество натуральных делителей числа 12.

Пример 1.2. – конечное множество, состоящее из четырех букв f, g, h и q.

Пример 1.3. – бесконечное множество натуральных чисел.

Пример 1.4. Пустым является множество действительных корней уравнения .

Задать множество – значит указать каким-либо способом, из каких элементов оно состоит. Можно задать множество перечислением всех его элементов, как в вышеуказанных примерах, или указать общее свойство, которым обладают все элементы данного множества.

Пример 1.5. W – множество всех белых медведей.

Пример 1.6. U – множество всех целых чисел, делящихся на 3 без остатка: .

Говоря об определенном множестве, мы предполагаем, что каждый объект x либо входит в рассматриваемое множество, либо не входит в него. То обстоятельство, что объект x принадлежит множеству A, обозначается знаком . Запись означает, что x не является элементом A.

Элементы, из которых состоит данное множество, сами могут быть множествами. Например, множество студентов дневного отделения философско-социологического факультета состоит из трех элементов: группа социологов, группа философов и группа психологов; в свою очередь, каждая группа является множеством студентов.

Два множества A и B называются равными, если каждый элемент множества A является элементом множества B и, наоборот, каждый элемент множества B является элементом множества A.

Пример 1.7. , B – множество корней уравнения . Эти множества равны.