- •Раздел 4 элементы математического анализа
- •Глава 7. Числовые функции
- •7.1. Определение функции
- •Четность и нечетность.
- •Элементарные функции
- •Степенная функция
- •Показательная функция
- •Логарифмическая функция
- •Тригонометрические функции
- •Обратные тригонометрические функции
- •Преобразование графиков
- •Глава 7
- •Глава 8. Пределы и непрерывность функции
- •8.1. Определение предела функции
- •8.2. Правила раскрытия неопределенностей
- •8.3. Непрерывность функции. Классификация точек разрыва
- •8.4. Второе определение непрерывности
- •Глава 8
-
Раздел 4 элементы математического анализа
Глава 7. Числовые функции
7.1. Определение функции
Если каждому числу x из множества X по некоторому правилу поставлено в соответствие определенное (и единственное) число y из множества Y, то говорят, что на множестве X определена функция . Буквой x обозначается независимая переменная или аргумент функции, y – зависимая переменная или значение функции, буквой f обозначается правило, по которому для каждого значения аргумента можно определить значение функции.
Определение функции предполагает:
1) наличие двух числовых множеств и ;
-
задание правила, по которому каждому числу cоответствует единственное число .
Множество значений, которые может принимать аргумент x, называется областью определения функции D(y).
Множество значений, которые принимает зависимая переменная y, называется областью изменения функции E(y).
Существует несколько способов задания функции:
-
Словесный, когда функция задается правилом, записанным в виде текста.
Пример 7.1. Пусть каждому числу x ставится в соответствие наибольшее целое число, не превосходящее x. Это функция антье x, обозначаемая или .
, , ;
, – множество целых чисел.
-
Табличный, когда функция задается таблицей, содержащей значения аргумента x и соответствующие значения функции f(x), например, таблица логарифмов.
-
Графический, когда функция задается в виде графика.
Если ввести систему xOy координат на плоскости, на оси Оx откладывать значения аргумента, а по оси Оy – значения функции, то каждой паре чисел (х, y) будет соответствовать точка М(х, y) координатной плоскости.
Графиком функции называется множество точек плоскости, абcциссы которых являются значениями аргумента, а ординаты – значениями функции.
-
Аналитический, когда функция задается одной или несколькими формулами.
Пример 7.2. .
Пример 7.3. |
Если функция задана формулой, но при этом область ее определения не указана, и данная функция не связывается с конкретной задачей, то за область ее определения принимается множество таких значений аргумента, при которых формула имеет смысл.
Пример 7.4. . Область определения функции – вся числовая прямая , но если х – длина одной из сторон прямоугольника с периметром p, то у будет выражать площадь прямоугольника как функцию х, и .
Так же, как и с числами, с функциями можно производить арифметические действия: сложение , вычитание , умножение , деление (в область определения не входят те х, при которых .
Пример 7.5. . Данную функцию можно представить в виде , где, с областью определения , и , с областью определения . Область определения функции .
Пусть , , . Если для каждого определена функция , то функция называется сложной функцией аргумента х. В область определения сложной функции входят те и только те значения х, для которых значения содержатся в области определения функции ; х называется основным аргументом, u – промежуточным.
Пример 7.6. Функция является простой, ее аргумент –независимая переменная x; – сложная функция, ее можно представить как , где . Логарифмическая функция определена, если ее аргумент положительный, т.е. . Корни квадратного трехчлена равны , . Неравенство выполняется при .
Рассмотрим основные свойства функций.