-42-

Раздел 5 основы дифференциального исчисления

Глава 9. Производная функции

9.1. Определение производной.

Производной функции в данной точ­ке называется предел отношения приращения функции к прира­щению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю:

.

(9.1)

Наряду с обозначением для производной употребляются также обозначения: , , .

Пример 9.1. Рассмотрим функцию с областью определения и произвольное значение аргумента х. Пусть х полу­чает приращение . В точке х функция принимает значение , в точке значение . Приращение функции имеет вид

.

Тогда отношение приращения функции к приращению аргумента равно

.

По определению

.

Производная является функцией от х. В каждой конкретной точ­ке х производная – это число. Например, если , то .

Процесс нахождения производной от данной функции назы­вается ее дифференцированием.

Пусть S(t) – путь, пройденный телом к моменту времени t. Скорость тела в точке t равна

,

т.е. производной от пройденного пути по времени.

Если Q – количество вещества, участвующего в данной химической ре­акции к моменту времени t, то

является скоростью изменения коли­чества вещества.

Рассуждая подобным образом, приходим к выводу, что для любой функции y(x) ее производная равна скорости изменения этой функции. В этом заключается механический смысл производной.

Касательной k к кривой в точке М (рис. 9.1) называется предельное положение секущей , когда точка по кривой стремится к точке М.

x+Δx

Рассмот­рим функцию в некоторой точке х (рис. 9.2). Перейдем от точки х к новой точке , равно приращению функции , . Из получаем

,

т.е. –тангенс угла наклона секущей к оси Ох. Пусть . Тогда точка стремится к точке М и, следовательно, стремится к , где – угол наклона касательной к прямой в точке М.

Так как , то при , стремящемся к нулю, отношение стремится к , или

.

Таким образом, .

Следовательно, значение производной функции в точке равно тангенсу угла наклона касательной, проведенной к графику функции в данной точке. В этом состоит геометрический смысл производной.

Знание геометрического смысла производной позволяет построить уравнение касательной к данной линии в данной точке

. (9.2)

Нормалью линии в данной точке называется перпендикуляр к касательной в точке . Уравнение нормали

. (9.3)

Пример 9.2. Напишем уравнение касательной и нормали к параболе в точке . (рис. 9.3). При , , т.е. касательную и нормаль проводим в точке .

Вычисляем угловой коэффициент касательной. Производная функции равна . В точке имеем . Следовательно, . Согласно формуле (9.2), уравнение касательной принимает вид . Преобразовывая, получаем . Для того, чтобы написать уравнение нормали, используем формулу (9.3). Уравнение нормали имеет вид , преобразовывая, получаем .