1.7.Уравнение состояния идеального газа

Уравнение, связывающее любой термодинамический параметр системы с параметрами, принятыми в качестве независимых переменных, называется уравнением состояния.

Уравнение состояния идеального газа позволяет вычислять давление, объем, плотность и температуру ограниченного объема газа любого сорта Уравнение состояния, связывающее для однородного тела давление р, объем V и температуру Т называется термическим уравнением состояния.

Выведем уравнение состояния идеального газа.

• Будем считать молекулы газа маленькими твердыми шарами, заключенными в ящик объема V. Это дает нам возможность считать, что между молекулами происходит упругое соударение.

• Рассмотрим сначала одну такую молекулу, отражающуюся от левой стенки ящика. Средняя сила, действующая на стенку на протяжении времени t , равна .

В результате удара о стенку импульс молекулы меняется на величину

- удар абсолютно упругий.

Время между соударениями молекулы с этой стенкой ,

тогда .

• В равновесном состоянии движение всех молекул хаотично. Это позволяет считать, что все молекулы движутся только в направлениях X,Y и Z, т.е. если в единице объема содержится п молекул, то в каждом из этих направлений движутся по молекул, или по в одну сторону.

• Если в объеме содержится N молекул, то результирующая сила, действующая на стенку со стороны всех молекул рана ,

где <_x² > - средний квадрат скорости движения всех N молекул в направлении Х.

Величина, равная корню квадратному из <_X² > называется среднеквадратичной скоростью молекулы в направлении Х.

• Разделив обе части этого уравнения на площадь стенки S, получим выражение для давления:

, где V – объём газа (ящика).

Мы получили, что для данной массы газа произведение pV остается постоянным, при условии, что кинетическая энергия частиц остается без изменения (сохраняется). Это закон Бойля.

• Молекулы газа движущегося хаотически во всех направлениях в пространстве равноправны, поэтому:

.

Ясно, что ,

поэтому ,

тогда . (1)

,

где Е — суммарная кинетическая энергия поступательного движения всех молекул газа.

С другой стороны, по уравнению Клапейрона — Менделе­ева, pV_m=RT. Средняя кинетическая энергия поступательного движения одной молекулы идеаль­ного газа

Абсолютной температурой принято называть величину, прямо пропорциональную средней кинетической энергии молекул в сосуде:

,

где k - постоянная Больцмана, k=Дж/К ,

E_K - средняя кинетическая энергия, приходящаяся на одну частицу.

Тогда уравнение (1) можно записать в виде , (2)

Или .

Таким образом, применив уравнения классической механики к молекулам идеального газа, мы вывели уравнение его состояния.

• Согласно закону Авогадро, моли всех газов занимают при одинаковых условиях одинаковый объем, поэтому для моля вещества константа в уравнении будет одинакова для всех газов:

, (3)

индекс  означает, что данный параметр берется в расчете на моль вещества,

R - универсальная газовая постоянная, R=8,31 Дж/(моль∙К)

Для произвольной массы газа m уравнение состояния идеального газа примет вид:

- уравнение Менделеева – Клапейрона,

где μ – молярная масса, ν - число молей (количество вещества).

Отношение - это постоянная Больцмана.

Здесь – число Авогадро.

Умножим правую часть уравнения (3) на . Произведение равно числу молекул в массе газа m.

С учетом этого получаем: , (4)

разделив на V c учетом того, что N/V - число молекул в единице объема, получаем

. Это основное уравнение молекулярно - кинетической теории.

Выражения (1), (2), (4), (5) – это уравнения состояния идеального газа.