Основные вопросы программы Теория случайных событий

1. Случайные события. Виды случайных событий.

2. Классическое и геометрическое определение вероятности.

3. Теорема сложения вероятностей для совместных и несовместных событий.

4. Теорема умножения вероятностей для зависимых и независимых событий. Условная вероятность.

5. Формулы полной вероятности и Байеса.

6. Схема независимых испытаний. Формула Бернулли.

7. Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа.

8. Асимптотическая формула Пуассона.

9. Простейший пуассоновский поток.

Задание 1

Пример 1. В партии из 10 изделий 4 бракованных. Определить вероятность того, что среди выбранных наудачу для проверки 6 изделий ровно два окажутся бракованными.

Решение. Обозначим интересующее нас событие через А. Общее число равновозможных, элементарных и несовместных исходов испытания равно числу способов, которыми можно выбрать 6 изделий из 10, т.е. .

Найдем теперь число исходов, благоприятных событию А. Два бракованных изделия можно выбрать из 4 имеющихся в партии бракованных изделий способами; при этом остальные из 6 выбранных изделий должны быть стандартными. Выбрать 4 стандартных изделия из 6 имеющихся в партии стандартных изделий можно способами. Тогда число благоприятных исходов .

Следовательно,

Пример 2. При перевозке ящика, в котором содержались 21 стандартная и 10 нестандартных деталей, утеряна одна деталь, причем неизвестно какая. Наудачу извлеченная после перевозки деталь оказалась стандартной. Найти вероятность того, что была утеряна: а) стандартная деталь; б) нестандартная деталь.

Решение. а) Пусть событие А – утеряна стандартная деталь. Извлеченная стандартная деталь, очевидно, не могла быть утеряна; могла быть потеряна любая из остальных деталей. Значит, общее число элементарных исходов . Среди деталей, каждая из которых могла быть потеряна, было 21 – 1 = 20 стандартных деталей. Тогда для события А число благоприятных исходов . Следовательно,

.

б) Пусть событие В – утеряна нестандартная деталь. Общее число элементарных исходов по-прежнему . Так как среди деталей, каждая из которых могла быть потеряна, было 10 нестандартных деталей, то для события В число благоприятных исходов . Следовательно,

.

Пример 3. На шести карточках написаны буквы А, М, О, К, С, В. Наудачу вынимают одну карточку за другой и кладут в том порядке, в каком они были вынуты. Какова вероятность того, что получиться слово «Москва»?

Решение. Пусть событие А состоит в том, что получится слово «Москва». Имеется шесть карточек; число всех возможных элементарных исходов равно числу перестановок из 6 букв, т.е. . Слово «Москва» даст только одна комбинация из этих букв, поэтому число исходов, благоприятных событию А, равно одному, т.е. . Следовательно,

.

1. Из партии, в которой 32 детали без дефектов и 6 с дефектами, берут наудачу 3 детали. Чему равна вероятность того, что все три детали без дефектов.

2. В группе 12 студентов, среди которых 8 отличников. По списку наудачу отобраны 9 студентов. Найти вероятность того, что среди отобранных 5 отличников.

3. Возле остановки «Космос» останавливаются автобусы маршрутов №№ 16, 15, 11,21, 9. Для рабочего попутным являются маршруты №№ 15, 21. Найти вероятность того, что к остановке первым подойдет автобус маршрута попутного для рабочего, если известно, что на линиях по маршрутам №№ 16, 15, 11, 21, 9 курсируют в этот день соответственно 15, 10, 8, 5, 12 автобусов.

4. В урне 5 белых и 3 черных шара. Найти вероятность того, что 3 наудачу вытянутых шара будут белыми.

5. Какова вероятность того, что из колоды в 36 карт будут вынуты подряд два туза?

6. Наблюдениями установлено, что в некоторой местности в сентябре в среднем бывает 12 дождливых дней. Какова вероятность того, что из случайно взятых в этом месяце 8 дней 4 дня окажутся дождливыми?

7. Из 20 городских банков 10 расположены за чертой города. Для обследования случайным образом отобрано 5 банков. Какова вероятность того, что 3 банка среди выбранных окажутся в черте города?

8. В партии товара, состоящей из 20 мужских пальто, находится 15 изделий местного производства. Товаровед наудачу отбирает 3 изделия. Какова вероятность, что все 3 изделия окажутся не местного производства?

9. Контролер ОТК, проверив качество сшитых 20 пальто, установил, что 16 из них первого сорта, а остальные – второго. Найти вероятность того, что среди взятых наудачу из этой партии 3 пальто только одно будет второго сорта.

10. Среди 20 поступающих в ремонт часов 8 нуждаются в общей чистке механизма. Какова вероятность того, что среди взятых одновременно наудачу 5 часов 3 часов нуждаются в чистке механизма?

11. Среди 15 лампочек 4 стандартных. Одновременно берут наудачу 3 лампочки. Найти вероятность того, что две из них будут нестандартными.

12. Студент знает 40 из 50 вопросов программы. Найти вероятность того, что студент знает 2 вопроса, содержащиеся в его экзаменационном билете.

13. Пятитомное собрание сочинений расположено на полке в случайном порядке. Какова вероятность того, что книги стоят слева направо в порядке нумерации томов (от 1 до 5)?

14. Комиссия по качеству раз в месяц проверяет качество продуктов в 2 из 30 магазинов, среди которых находятся и два широко известных в городе магазина. Какова вероятность того, что в течение месяца они оба будут проверены?

15. В ящике 13 зеленых, 10 красных и 7 синих одинаковых на ощупь шариков. Наугад вынимают 8 шариков. Какова вероятность того, что вынуто 3 зеленых, 2 красных и 3 синих шарика?

16. Среди 25 студентов, из которых 15 девушек, разыгрываются 4 билета, причем каждый может выиграть только один билет. Какова вероятность того, что среди обладателей билетов окажутся 3 юноши и 1 девушка.

17. Устройство состоит из 5 элементов, из которых 2 изношены. При включении устройства включаются случайным образом 2 элемента. Найти вероятность того, что включенными окажутся неизношенные элементы.

18. В коробке 5 одинаковых изделий, причем 3 из них окрашены. Наудачу извлечены 2 изделия. Найти вероятность того, что среди них окажется одно окрашенное изделие.

19. На складе имеются 15 кинескопов, причем 10 из них изготовлены Львовским заводом. Найти вероятность того, что среди 5 взятых наудачу кинескопов окажется 3 кинескопа Львовского завода.

20. Из колоды в 36 карт вынимаются наудачу 5 карт. Найти вероятность того, что все они бубновой масти.

21. Найти вероятности того, что в «Спортлото 6 из 49» будет угадано 4 номера.

22. Собрание, на котором присутствует 25 человек, в том числе 5 женщин, выбирает делегацию из трех человек. Найти вероятность того, что в делегацию войдут 2 женщины и 1 мужчина.

23. В цехе работают 6 мужчин и 4 женщины. По табельным номерам наудачу отобраны 7 человек. Найти вероятность того, что среди отобранных лиц окажутся 3 женщины.

24. В урне 30 шаров, из них 5 черных, а остальные белые. Вынимаются один за другим 3 шара подряд. Какова вероятность того, что будет вынуто 2 черных и один белый шар?

25. Из колоды в 36 карт вынимаются наугад 2 карты. Найти вероятность того, что вынуты туз и одна десятка.

26. В партии из 10 изделий 4 бракованных, Определить вероятность того, что среди выбранных наудачу для проверки 6 изделий ровно два окажутся бракованными.

27. Из десяти билетов лотереи выигрышными являются два. Определить вероятность того, что среди наудачу взятых пяти билетов два выигрышных.

28. В ящике находится 30 деталей, из них 25 первого сорта, остальные второго сорта. Вынимаются последовательно наудачу три детали. Какова вероятность того, что две детали окажутся первого сорта, а третья – второго сорта?

29. В лотерее всего 100 билетов, среди них один выигрыш в 30 рублей, три – по 15 руб., пять выигрышей по 10 руб., 10 – по 5 руб. и 25 – по 1 руб. Найти вероятность выиграть 5 руб., имея 2 билета.

30. Библиотечка состоит из десяти различных книг, причем 5 книг стоят по 4 рубля каждая, 3 книги – по 1 рублю и 2 книги – по 2 рубля. Найти вероятность того, что взятые наугад 2 книги вместе стоят 5 рублей.