4. Средняя гармоническая. Критерий выбора формы средней
В ряде случаев исходные данные и смысл производимых расчётов приводят к необходимости вычисления средней гармонической, которая может быть простой и взвешенной.
Простая средняя гармоническая имеет вид:
.
Средняя гармоническая взвешенная вычисляется по формуле:
.
Решая задачи по этой теме, необходимо, прежде всего, научиться правильно выбирать в каждом конкретном случае формулу средней величины. При выборе средней (арифметической или гармонической) следует исходить из экономического содержания усредняемого показателя. Первый этап вычисления средней – это запись исходного соотношения средней или ее логической формулы. Логическая формула вытекает из сущности средней. Средняя величина признака – это отношение. Поэтому прежде чем оперировать цифрами, нужно выяснить, соотношением каких показателей является средняя в данном конкретном случае. Это исходное соотношение необходимо записать словами в виде формулы (слайды):
Средняя выработка продукции на одного рабочего:
Средний процент рабочих, перевыполняющих нормы выработки:
Средняя заработная плата:
Средний размер вклада в банке:
Средний процент выполнения плана:
Средний процент брака:
Средняя урожайность:
Если исходное соотношение записано правильно, то выбор формулы средней определяется характером исходных данных.
Если известны слагаемые знаменателя исходного соотношения, а слагаемые числителя можно определить как произведение двух известных показателей, то применяют среднюю арифметическую взвешенную:
.
Если известны слагаемые числителя исходного соотношения, а слагаемые знаменателя можно определить как частное от деления одного известного показателя на другой, то применяют среднюю гармоническую взвешенную:
Если известны и слагаемые знаменателя и слагаемые числителя исходного соотношения, то средняя вычисляется в явном виде:
.
Пример (слайд) – Имеются следующие данные по цехам предприятия за январь и февраль:
Цех |
Январь |
Февраль |
||
Средняя заработная плата рабочих, ден. ед. |
Число рабочих |
Средняя заработная плата рабочих, у.е. |
Фонд заработной платы рабочих, ден. ед. |
|
1 |
1600 |
105 |
1650 |
171600 |
2 |
1750 |
90 |
1780 |
169100 |
3 |
1900 |
98 |
1960 |
196000 |
Определите среднюю заработную плату за январь и февраль в целом.
Решение. Запишем исходное соотношение средней:
По исходным данным за январь месяц известны слагаемые знаменателя исходного соотношения, а слагаемые числителя можно определить как произведение двух известных показателей, следовательно применим среднюю арифметическую взвешенную:
ден. ед.
По исходным данным за февраль месяц известны слагаемые числителя исходного соотношения, а слагаемые знаменателя можно определить как частное от деления одного известного показателя на другой, таким образом применим среднюю гармоническую взвешенную:
ден. ед.
Итак, при расчете одного и того же показателя – среднего размера заработной платы в целом по совокупности – в первом случае (январь) использовалась средняя арифметическая взвешенная, во втором (февраль) – средняя гармоническая взвешенная. Это обусловлено, прежде всего, одной и той же логической формулой для вычисления искомого показателя, но вместе с тем различными исходными данными, которые были представлены в таблице.
При решении задач необходимо писать формулы средних, указывать, что является вариантами, а что – весами в каждой задаче.