- •34.Похідні елемент. Ф-ій
- •35.Похідна складної функції. Похідна функції заданої неявно.
- •36. Похідна оберн. Ф-ії. Диференц. Оберн. Тригоном. Ф-ій.
- •37.Похідна функції, заданної параметрично.
- •38.Гіперболичні функції, їх властивості та похідні.
- •39.Диференціал.Геом. Зміст диференц.
- •40.Властив. Диференц.Інваріантність форми дифер.Застосув. Дифер. У наближ. Значен.
- •Дов. Інваріантність форми дифер.
- •Заст. Дифер. У наближ. Обч.
- •41. Похідні вищих порядків.
- •42. Форм. Лейбніца. Диференц. Вищих порядків.
- •43. Теор. Ферма і Ролля
- •44.Теор. Коші і Лагранжа.
- •45. Правило Лопіталя. Розкриття невизначеності 0/0
- •46.Правило Лопіталя для розкриття невизн.
- •47.Формула Тейлора для многочлена
- •48.Формула Тейлора для ф-ії.
- •49.Форм. Тейлора з залишк. Членом у формі Лагранжа.
- •50.Теор. Про умови сталості ф-ії. Наслідок.
- •51.Ознаки монотоності ф-ії.
- •52.Локальн. Екстремум ф-ії. Теор. Про необхідну умову.
- •53.Перша достатня умова екстр. Ф-ії. Правило дослідж. Ф-ії на екстремум.
- •54.Друга і третя достатні умови локал. Екстр. Ф-ії.
- •55.Опуклість і вгнутість кривих. Теор.1
- •56.Точки перетину кривої. Теореми 2 і 3.
- •57. Асимптоти кривої.
- •1. Вертик. Асимптоти
- •58.Первісна ф-ії і невизн. Інтеграл.
- •Власт. Невизнач. Інтегр.:
- •59.Основні інтегр. Інтегр., що не є елемент. Ф-ми.
- •60. Інтегр. Підстановкою у невизн. Інтегр. Приклади.
- •61.Інтегрув. Частинами у невизн. Інтегралі.
- •62.Обчислення інт.
- •63.Інт., що містять у знамен. Квадр. Трьохчлен. 1,2,3 типи.
- •64.Інтегр., що містять у знам. Кв. Трьохчлен. 4,5,6,7 типи.
- •65.Інтегрув. Дробово-раціон. Ф-ій.
- •66.Інтегрування деяк. Алгебр. Ірраціон. Підст. Ейлера
- •67.Інтегр. Диференц. Біномів. Підстановки Чебишева.
- •68.Інтегрув. Раціон. Виразів, до яких входять тригоном. Ф-ії.
- •69.Означ. Визнач. Інтегралу. Геометр. І фізичний зміст.
- •70.Умови існув. Визначен. Інт. Властив. Визнач. Інт., вираж. Рівностями.
- •Власт. Визн. Інт., вираж. Рівн.
- •71.Власт. Визн. Інт. Виражені нерівн. Теор. Про сер. Знач ф-ії.
- •12) Теор.(про середнє знач. Ф-ії)
- •72.Інтегр. Із змінною верхнюю межою інтегр. Теор. Наслідок.
- •73.Форм. Ньютона-Лейбніца. Заміна змін. У визнач. Інтегр. Інтегр. Частин. У визнач. Інтегр
34.Похідні елемент. Ф-ій
Теорема 1
Похідна від сталої дорівнює 0.
с’ = 0.
Доведення:
Якщо f(x)=c,x, то f(x+)=c, f’(x) =
Теорема 2
Сталий множник можна виносити за знак похідної. (cu)’=cu’
Доведення:
За теоремою 1 і теоремою про границю добутку одержемо: (cu)’ = c’u+cu’ = 0+cu’=cu’
Теорема 3
Похідну степеневої функції знаходять за формулою
Доведення:
Використаємо еквівалентність
еквівалентно . За означенням похідної:
Теорема 4
Похідні тригонометричних функцій знаходять за формулами
1.
2.
3.4.
Доведення:1.За означенням похідної
Оскільки cosx неперервна функція ми застосували правило граничного переходу
2.
Оскільки sinx неперервна ф-ія ми застосували граничний перехід.
3.
4.
Теорема 5
Похідну показникової функції знаходять за формулою
Доведення:
Використовуємо еквівалентність: еквівалентна , . За означенням похідної
Наслідок:
Теорема 6
Похідну логаріфмічної функції знаходять за фомулою: .
Доведення:
Використовуємо еквівалентність: еквівалентна . За означенням похідної:
Наслідок:
35.Похідна складної функції. Похідна функції заданої неявно.
Нехай , -визначає складну ф-ію.
Теорема:
Якщо ф-я в т.х, а ф-я дифіренційовна у відповідній U, то складна функція має похідну в точці Х і справедлива формула
Доведення
Оскільки ф-ія дифіренц. точці U, то існує границя
За теоремою про існування границі в точці ф-ії
, де -нескінченно мала, , якщо
Звідси
(1)
Оскільки за умовою ф-ія , диференційовна в точці х, то існує границя
Аналогічно , де , якщо
Оскільки рівняння
диференційовне в точці х, то за теоремою вона є неперервною в цій точці
за означенням неперервності
Таким чином, якщо , то ,
, одержимо
Теорема доведена.
Означення
Якщо ф-ія задана рівнянням , розв’язаними відносно залежної змінної, то таку ф-ію називають явною, під неявним завданням ф-ії розуміють F(x,y)=0, які не можна розв’язати відносно у.
- задана неявно.
Нехай -задана рівнянням F(x,y)=0 (4)
Щоб продиф. Неявну функцію необхідно взяти похідну від обох частин рівності (4) вважаючи, при цьому y-це функція від х.
Потім одержане рівняння розв’язати відносно , похідна неявної функції таким чином буде виражатись через у та х.
36. Похідна оберн. Ф-ії. Диференц. Оберн. Тригоном. Ф-ій.
Нехай ф-ія y=f(x) визначена на деякій множ. Х і має обл. значень множ. У. Може статися, що різним значен. х відповід. одне значен. ф-ії.
У цьому питані ми будемо розглядати лише такі ф-ії для яких різним значен. аргумента х відповід. різні значен. ф-ії
Для таких ф-ій можна стверджув., що уєУ відповідає єдине значення х є Х, тобто на множині У задана ф-ія Цю ф-ію наз. оберненою до ф-ії y=f(x). Її позначають також символом
ОЗН.1. Нехай y=f(x) ф-ія визначена на множ. Х. Якщо ф-ію f(x) наз. зростаючою.
ОЗН.2. Якщо ф-ію f(x) наз. незростаючою.
ОЗН.3. Якщо ф-ію f(x) наз. спадною
ОЗН.4. Якщо ф-ію f(x) наз. неспадною.
Всі перечислені озн. наз. монотоними, а зрост. і спадна ф-їя наз. строго монотон.
ТЕОР.1.(про існув. і похідну обернен. ф-ії) Якщо ф-ія y=f(x) строго монотона на (a,b) і во всіх його точках має відмінну від 0 похідну f `(x), то існує обернена ф-ія похідну якої можна знайти за форм. або .
ТЕОР.2.(похідні обернених тригоном. ф-ій) Довед. (1) ф-ія y=arcsinx є оберненою до ф-ії x=siny. В свою чергу ф-ія x=siny зростає на і має відмінну від 0 похідну Тоді за теор.1 с форм. (1)