73.Форм. Ньютона-Лейбніца. Заміна змін. У визнач. Інтегр. Інтегр. Частин. У визнач. Інтегр

Теор.1 Нехай ф-ія f(x) неперер. на [a,b]. Тоді справедлива форм.:

де F(x) – первісна ф-ії f(x) на [a,b].

Довед. для непер. ф-ії f(x) справ. форм.(4) Підставимо в цю формулу х=а: Звідси: Тоді: Якщо x=b:

Заув. форм.(1) наз. форм. Ньютона-лейбніца. Різницю F(b)-F(a) іноді позначають . Тому форм. Н.-Л. запис. також у вигляді:

Прикл. (обчисл. інтегр.):

Теор.2: Нехай ф-ія f(x) непер. на [a,b]. А ф-ії непер. на , причому і . Тоді справедлива формула:

Форм.(2) наз. форм. заміни зміної у визнач. інтегралі.

Прикл. (обч. інтеграл):

Теор.3: Нехай u=u(x), v=v(x) непер. на [a,b] ф-ії, які мають непер. похідні u`(x) і v`(x) на [a,b]. Тоді справедл. форм.:

Форм.(3) назив. форм. інтегрув. частинами у визначен. інтегралі. Всі зауваженя стосовно застосуваня цієї формули для невизнач. інтегр. зберігаються і для визначеного.

Прикл.: