52.Локальн. Екстремум ф-ії. Теор. Про необхідну умову.

ОЗН. нехай ф-ія f(x) визначена на (a,b). Т.хоє(a,b) наз. точкою локальн. максимуму ф-ії f(x), якщо існує такий виколотий дельта окіл цієї точки що належить (a,b) x з якого f(x)<f(xo)

ОЗН. т.хоє(a,b) наз. точкою локальн. мінімуму ф-ії f(x), якщо існує такий виколотий дельта окіл цієї точки з якого f(x)>f(xo).

Назва локальний повязана з тим, що нерівності f(x)>f(xo) і (f(x)<f(xo)) виконуються не для всіх х із області визнач., а лише для х із деякого дельта околу т.хо, за винятком самої хо.

хо-локальний максимум

хо-локальний мінімум

Заув. слід відрізняти екстремуми ф-ії від найменьш. і найбільш. значень, яких може набувати ф-ія в області визначеня. По-перше, локальн. екстр. може бути декілька, а найбільш. і наймен. знач. ф-ії може бути лише одне. По-друге, локальні екстрем. ф-ія може набувати лише у внутрішніх точках обл. визнач., а найб. і найм. знач., як у внутр. точках так і в межевих.

Теор.(необх. умова локальн. екстрем.) якщо ф-ія f(x) у т.хо має локальн. екстремум і диференц. в цій точці, то f`(xo)=0.

Довед. за умовою теор. існує такий окіл в якому ф-ія f(x) в т.хо набуває найбільш. або наймен. знач. Тоді за теор. Ферма f`(xo)=0.

Заув.1: наведена в теор. умова лише є необхідною, але не достатньою. Тобто з того факту, що f`(xo)=0 ще не випливає, що хо-точка локального мінім. або максим.

Напр.: Але ніякого екстр. у т.хо, що=0

Заув.2: існують ф-ії, які в точках локальн. екстр. не диференц.

Напр.: у=|x|, xє[-1,1]. У точці хо=0 не має похідної, але в цій точці вона має локальн. мінім.

Але з цього зовсім не випливає того, що в кожній точці, в якій ф-ія не має похідної, вона має локальний екстремум

Напр.:

Узагальнюючи все це наведену вище теор. можна переформулювати так:

Якщо ф-ія f(x) неперервна у т.хо і хо є точкою локальн. екстрем., то ця точка є критичною точкою ф-ії f(x).

53.Перша достатня умова екстр. Ф-ії. Правило дослідж. Ф-ії на екстремум.

ТЕОР.1 Нехай хо-критична точка ф-ії f(x) і у деякому околі

за винятком можливо самої т.хо існує похідна f`(x). Якщо:

1) на похідна f`(x)<0, а на похідна f`(x)>0, т.хо – точка локал. мін. ф-ії f(x).

2) на f`(x)>0, а на f`(x)<0, т.хо – точка локал. макс. ф-ії f(x).

3) на і на похідна f`(x) має однаковий знак, то т.хо – не є точкою екстремуму.

Інакше кажучи, якщо при переході через т.хо похідна змінює знак з «-« на «+» т.хо – точка локал. мін.; якщо знак змінюється з «+» на «-« т.хо – локал. макс.; якщо знак не змінюється, екстр. в цій точці не має.

Довед. 1) нехай Це означає, що на ф-ія f(x) спадає. Тоді

З іншого боку Це означає, що на f(x) зростає і

Остаточно одержимо: За означ. т.хо – точка локал. мін. ф-ії f(x). Другий і третій випадок доводяться аналогічно

З теор.1 і теор.(про необх. умову існув. локал. екстр.) випливає правило дослідження ф-ії на екстремум:

1) знайти обл. визнач. ф-ії y=f(x);

2) обчислити похідну f`(x) і розвязати рівн. f`(x)=0;

3) до коренів даного рівн. додати точки із обл. визн., в яких похідна не існує, і поділити всіми цими точками обл. визн. на проміжки, в кожному із яких потім визначати знак похідної;

4) точки при переході, через які похідна змінює знак є точками локал. екстремума.