- •Министерство образования и науки российской федерации
- •Механика
- •Содержание
- •Предисловие
- •Программа курса “Механика”
- •Место дисциплины в учебном процессе и виды учебной работы
- •Распределение учебных часов
- •Учебно-тематический план
- •Содержание курса
- •Примерная тематика семинарских занятий
- •Вычислительный эксперимент
- •Средства обеспечения дисциплины
- •Рекомендуемая литература
- •Лекция №1. Введение
- •1. Предмет физики, её связь с другими естественными науками
- •2. Методы физических исследований
- •3. Роль модельных представлений в физике
- •4. Физические величины, их измерение и оценка точности и достоверности полученных результатов
- •5. Системы единиц физических величин
- •Контрольные вопросы
- •Лекция №2. Кинематика материальной точки при прямолинейном движении
- •1. Кинематические законы движения материальной точки
- •Зависимость (2.3)
- •2. Скорость и ускорение при прямолинейном движении
- •Контрольные вопросы
- •Лекция №3. Кинематика материальной точки при криволинейном движении
- •1. Скорость материальной точки при криволинейном движении
- •2. Ускорение материальной точки при криволинейном движении
- •3.Ускорение при движении материальной точки по окружности
- •4. Кинематика вращательного движения материальной точки
- •Контрольные вопросы
- •Лекция №4. Динамика материальной точки
- •1. Первый закон Ньютона
- •2. Масса
- •3. Сила
- •4. Второй закон Ньютона
- •5. Третий закон Ньютона
- •6. Импульс. Общая формулировка второго закона Ньютона
- •7. Виды взаимодействий тел
- •8. Гравитационные силы (силы тяготения)
- •9. Сила тяжести и вес. Невесомость
- •10. Силы трения
- •Контрольные вопросы
- •Лекция №5. Динамика системы материальных точек
- •1. Центр масс системы материальных точек
- •2. Закон сохранения импульса
- •Движение каждой точки описывается вторым законом Ньютона:
- •3. Движение тел с переменной массой. Реактивное движение
- •4. Задача двух тел. Приведенная масса
- •Контрольные вопросы
- •Лекция №6. Законы сохранения
- •1. Работа
- •2. Энергия и работа
- •3. Кинетическая энергия и работа
- •4. Потенциальная энергия
- •5. Закон сохранения и превращения механической энергии
- •6. Соударение двух тел
- •7. Момент силы относительно неподвижного центра
- •8. Момент импульса относительно неподвижного центра
- •9. Закон сохранения момента импульса
- •10. Законы сохранения и симметрия пространства и времени
- •Контрольные вопросы
- •Лекция №7. Механика твердого тела
- •1. Понятие об абсолютно твердом теле
- •2. Твердое тело как система материальных точек
- •3. Поступательное движение твердого тела
- •4. Вращательное движение твердого тела
- •5. Плоское движение твердого тела
- •6. Момент силы относительно оси
- •7. Момент пары сил
- •8. Второй закон Ньютона для вращающегося твердого тела
- •9. Момент инерции твердого тела
- •10. Теорема Штейнера
- •11. Закон сохранения момента импульса при вращательном движении
- •12. Кинетическая энергия вращающегося тела
- •13. Кинетическая энергия тела при плоском движении
- •14. Свободные оси вращения
- •15. Гироскоп
- •16. Степени свободы и связи абсолютно твердого тела
- •17. Условия равновесия твердого тела. Виды равновесия
- •18. Центр тяжести
- •Контрольные вопросы
- •Лекция №8. Механика деформируемых тел
- •1. Упругие силы
- •2. Виды упругих деформаций
- •3. Упругие и пластические деформации. Предел упругости и предел прочности
- •4. Всестороннее растяжение и сжатие
- •5. Энергия упругой деформации
- •Потенциальная энергия упруго деформированного стержня равна
- •6. Кручение
- •Контрольные вопросы
- •Лекция №9. Механика жидкостей и газов
- •1. Механические свойства жидкостей и газов
- •2. Гидростатика
- •Кажущийся вес тела
- •3.Гидродинамика
- •4. Описание движения жидкостей. Уравнение неразрывности струи
- •5. Уравнение Бернулли
- •6. Вязкость
- •7. Ламинарное и турбулентное течения
- •8. Течение вязкой жидкости в круглой трубе. Формула Пуазейля
- •9. Движение тел в жидкостях и газах. Закон Стокса
- •10. Истечение жидкости из отверстия
- •Контрольные вопросы
- •Лекция №10. Движение в неинерциальных системах отсчета
- •1. Неинерциальные системы отсчета
- •2. Силы инерции
- •3. Силы инерции при ускоренном поступательном движении системы отсчета
- •123 4. Силы инерции при равномерном вращательном движении системы отсчета. Центробежная сила инерции
- •5. Сила Кориолиса
- •Контрольные вопросы
- •Лекция №11. Механические колебания и волны
- •1. Гармонические колебания и их характеристики
- •2. Динамика колебательного движения
- •3. Гармонический осциллятор. Пружинный, физический и математический маятники
- •4. Сложение гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты. Биения
- •5. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний
- •6. Свободные затухающие колебания
- •7. Вынужденные колебания
- •8. Амплитуда и фаза вынужденных колебаний. Резонанс
- •9. Автоколебания
- •10. Распространение колебаний в однородной упругой среде
- •11. Уравнение плоской и сферической бегущей волны. Фазовая скорость. Волновое уравнение
- •12. Принцип суперпозиции. Групповая скорость
- •13. Энергия упругой волны
- •14. Интерференция волн
- •15. Стоячие волны
- •16. Характеристика звуковых волн
- •17. Эффект Доплера в акустике
- •18. Ультразвук и eго применение
- •Контрольные вопросы
- •Лекция №12. Всемирное тяготение
- •1. Законы Кеплера и закон всемирного тяготения
- •2. Гравитационная масса
- •3. Поле тяготения и его напряженность
- •4. Работа в поле тяготения. Потенциал поля тяготения
- •5. Космические скорости
- •6. Принцип эквивалентности гравитационных сил и сил инерции
- •Контрольные вопросы
- •Лекция № 13. Элементы специальной теории относительности
- •1. Преобразования Галилея. Механический принцип относительности
- •2. Постулаты специальной (частной) теории относительности
- •3. Преобразования Лоренца
- •4. Следствия из преобразований Лоренца
- •5. Интервал между событиями
- •6. Основной закон релятивистской динамики материальной точки
- •7. Взаимосвязь массы и энергии
- •Контрольные вопросы
- •Фатыхов Миннехан Абузарович Механика
10. Законы сохранения и симметрия пространства и времени
Закон сохранения энергии является следствием однородности времени, закон сохранения импульса – следствием однородности пространства, а закон сохранения момента импульса – следствием изотропии пространства. Это означает, что перечисленные в нем законы сохранения можно получить из второго закона Ньютона, если к нему присоединить свойства симметрии пространства и времени, а именно: однородность пространства и времени, а также изотропию пространства.
Часто говорят, что однородность времени означает равноправие всех моментов времени. Однородность пространства означает, что в пространстве нет выделенных положений, все точки пространства равноправны. Аналогично, изотропия пространства характеризуется отсутствием в нем выделенных направлений, все направления в пространстве эквивалентны. Но такие формулировки слишком неопределенны и при буквальном понимании просто неверны. Направление к центру Земли, например, резко отличается от всякого горизонтального направления. Для альпиниста положения его у подножья и на вершине Эльбруса отнюдь не эквивалентны. Тело на вершине горы, представленное самому себе, может скатиться вниз. Но оно никогда не поднимется от подножья горы к ее вершине, если ему не сообщить надлежащей скорости. Точно так же для человека моменты времени, когда он молод, полон энергии и сил и когда он стар и находится на склоне лет, отнюдь не эквивалентны. Что же такое однородность времени, однородность и изотропия пространства?
Однородность времени означает, что если в два любые момента времени все тела замкнутой системы поставить в совершенно одинаковые условия, то, начиная с этих моментов, все явления в ней будут протекать совершенно одинаково.
Однородность пространства означает, что если замкнутую систему тел перенести из одного места пространства в другое, поставив при этом все тела в ней в те же условия, в каких они находились в прежнем положении, то это не отразится на ходе всех последующих явлений. В том же смысле надо понимать и изотропию пространства, только вместо переноса замкнутой системы надо говорить об ее повороте в пространстве на любой угол.
В связи с этими определениями отметим следующее: под замкнутой системой тел нельзя понимать всю Вселенную. Если поступить так, то перечисленные свойства симметрии пространства и времени стали бы самоочевидными. Но они стали бы и бессодержательными. Ибо говорить о переносе или повороте системы тел можно только по отношению к каким-то другим телам. Речь идет не о всей Вселенной в целом, а о таких ее частях, которые можно рассматривать как (приближенно) замкнутые системы. Отсюда ясно, что свойства симметрии пространства и времени, о которых мы говорили, отнюдь не самоочевидны. На них надо смотреть как на фундаментальные обобщения опытных фактов.
После этих разъяснений обратимся к выводу закона сохранения энергии в механике. Из динамики известно, что работа сил над механической системой равна приращению ее кинетической энергии, т.е.
(6.39)
Рассмотрим одну материальную точку, находящуюся под действием силы . Предположим, что проекции силы могут быть получены дифференцированием потенциальной функции :
, ,
Однако сама потенциальная функция может зависеть явно не только от координат рассматриваемой материальной точки, но и от времени t: . Например, это будет так, когда точка находится в силовом поле других тел, которое меняется во времени. Работа, производимая действующими силами над материальной точкой при перемещении ее вдоль некоторой кривой из положения 1 в положение 2, представляется интегралом , взятым вдоль той же кривой. Прибавим и вычтем под знаком интеграла член . Тогда имеем
.
Под первым интегралом находится полный дифференциал потенциальной функции . Поэтому
(6.40)
В таком виде последнее равенство справедливо и для системы материальных точек. Поэтому дальнейшие рассуждения не связаны с предположением о том, что система состоит из одной материальной точки. После интегрирования (6.40) получаем
(6.41)
Комбинация этой формулы с (6.38) приводит к соотношению
(6.42)
До сих пор мы не использовали условие замкнутости системы и свойства однородности времени, поэтому наши рассуждения применимы и для незамкнутых систем. Допустим теперь, что система замкнута. Тогда ввиду однородности времени функция не может явно зависеть от времени, т.е. .
В результате получим
, (6.43)
т.е. уравнение, выражающее закон сохранения механической энергии.
Докажем закон сохранения импульса. Допустим, что механическая система замкнута. Все силы , действующие на материальные точки системы, являются силами внутренними, внешних сил нет. Перенесем систему из произвольного положения 1 в другое произвольное положение 2, чтобы все материальные точки ее претерпели одно и то же перемещение и притом так, чтобы их скорости остались прежними по величине и направлению. Ввиду однородности пространства на такое перемещение не требуется затраты работы. Но эта работа представляется скалярным произведением Значит, она равно нулю, каково бы ни было перемещение. Отсюда следует, что для замкнутой системы А это есть как раз то условие, при выполнении которого из второго закона Ньютона получается закон сохранения импульса.
Закон сохранения момента импульса для замкнутой системы доказывается в точности так же. Используя изотропию пространства можно доказать, что геометрическая сумма моментов внутренних сил, действующих в системе, равна нулю: . Отсюда немедленно следует рассматриваемый закон.