- •Наблюдаемые явления (результат испытаний)
- •Алгебра событий
- •Диаграммы Эйлера-Венна
- •Доказательство теоремы о сложении вероятностей совместных событий
- •Формула полной вероятности
- •Формула вероятности гипотез
- •Формула Бернулли
- •Локальная формула Лапласа
- •Интегральная формула Лапласа
- •Случайные одномерные величины
- •Распределения вероятностей дискретной случайной величины
- •2.Распределение Пуассона
- •Основные формулы комбинаторики, используемые для определения вероятностей алгебры событий
- •Функция (интегральный закон) распределения с.В.
- •Плотность вероятности (дифференциальный закон) распределения непрерывной с.В.
- •Числовые характеристики распределения с.В.
- •Математическое (безусловное) ожидание с.В.
- •Дисперсия (безусловная) с.В.
- •5.Квантили распределения
- •Нормальное (Гауссово) распределение
- •Функция Лапласа
- •Равномерное (равновероятное, прямоугольное)
- •Показательное (экспоненциальное) распределение
- •Распределение χ2
- •Двумерные с.В. («проклятие размерности»)
- •Свойства
- •Условные математические ожидания (регрессии)
- •II. Математическая статистика
- •Построение эмпирической (статистической) функция распределения
- •Статистические оценки параметров распределения
- •Точечные оценки точности оценок (статистик) генеральных числовых характеристик
- •Математического ожидания и дисперсии
- •Доверительные интервалы оценки среднеквадратического отклонения
- •Методы оценки параметров известного распределения
- •1.Метод моментов (Пирсона)
- •2. Метод максимального правдоподобия (Фишера)
- •Парная линейная регрессия
- •Множественная линейная регрессия
- •Коэффициент детерминации регрессий
Теория вероятности
и математическая статистика
Лекции
Авторский текст:
проф. Семёнычев Валерий Константинович
Самара, 2007 г.
I. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТИ
Моделирование – прогнозирование – принятие решений
Модели
Детерминированные Вероятностные Нечеткой логики
«Случайность» - непознанная закономерность
«Пирог познания»
Более сложная
детерминированная модель
Простая вероятностная
модель
Простая
детерминированная модель
Теория вероятностей – наука о закономерностях массовых случайных явлений (Лаплас, Пуассон, Гаусс, Бернулли, П.Л.Чебышев, А.М.Ляпунов, А.А.Марков, А.Н.Колмогоров и др.)
Теория вероятностейматематическая статистика
Курсы в ВУЗах, использующие теорию вероятности и матстатистику:
социально - экономическая статистика;
многомерные статистические методы;
эконометрика; эконометрическое моделирование;
методы социально-экономического прогнозирования;
страхование и актуарные расчеты;
теория риска и моделирования рисковых ситуаций;
маркетинг; теория массового обслуживания;
технический и фундаментальный анализ,
теория планирования эксперимента; теория надежности; теория информации (статистическая радиотехника), статистическая физика; выборочный контроль качества и др.
Предмет теории вероятностей – явления, события, случайные величины (одномерные, многомерные)
Наблюдаемые явления (результат испытаний)
Достоверные Невозможные Случайные
Условия: t=200 C, P- норм. Условия t=200 C, Испытание -
Р – норм бросание
монеты
Вода в сосуде – жидкая Вода в сосуде – твердая (герб или цифра)
События несовместные, если появление одного из них исключает появление других событий в одном и том же испытании.
События образуют полную группу событий, если в результате испытаний появится хотя бы одно из них.
Испытание. Бросание монеты: – герб, – цифра;
Испытание. Выстрел: - попадание, – промах (противоположное событие). и - образуют полную группу событий при одном выстреле.
Испытание. Покупают 23 лотерейных билета: событие А – выигрыш выпал на первый билет, отсутствие выигрыша на втором; событие B – выигрыш не на первом, а на втором билете; событие С – выигрыш обоих билетов; событие D – выигрыш не выпал ни на один билет.
Данные события образуют полную группу событий, если проверяются два билета. А при проверке трех билетов, что образует полную группу событий?
Испытание - игральная кость: событие A – появление числа 1, событие B 2, событие C 3, D 4, E 5, F 6. События равновероятны? (если…).
Вероятность – мера объективной возможности появления события
Классическое определение вероятности:
,
где – число исходов испытания, которое благоприятствует появлению события , – общее число исходов испытания.
Свойства вероятности:
1. Вероятность достоверного события равна 1:
2. Вероятность невозможного события равна 0:
3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между 0 и 1:,
«Судебная машина» Лапласа. Парадокс кавалера де Грие. Аксиоматика Колмогорова.
Теоретико-множественный подход к определению вероятности
- некоторое пространство элементарных событий, в котором с исходами испытаний связывают точки пространства. Каждому ставят в соответствие .
Пример. Для игральной кости: Событие – подмножество пространства элементарных событий - появление четного числа (событие):
Недостатки классического определения вероятности
1.Неприменимость при бесконечном числе исходов
Выход находят путем введения геометрической вероятности: как отношение мер длин, площадей. Примеры: рулетка, попадание точки в отрезок длиной на отрезке длиной : .
2. Априори трудно представить результат испытаний в виде совокупности элементарных событий, еще труднее указать основание, позволяющее считать элементарные события равновозможными.
Тогда вводят статистическую (апостериорную) вероятность ,
– число исходов, в которых событие появилось, – общее число исходов
Алгебра событий
1.Суммой двух событий и называют событие , состоящее в появлении или , или , или обоих (если они совместны).
Пример. Для двух выстрелов сумма событий: – попадание при первом выстреле, попадание при втором выстреле, – попадание при обоих выстрелах, т.е.
Суммой нескольких событий называют событие, заключающееся в появлении хотя бы одного из них. .
При несовместных событиях: