- •Наблюдаемые явления (результат испытаний)
- •Алгебра событий
- •Диаграммы Эйлера-Венна
- •Доказательство теоремы о сложении вероятностей совместных событий
- •Формула полной вероятности
- •Формула вероятности гипотез
- •Формула Бернулли
- •Локальная формула Лапласа
- •Интегральная формула Лапласа
- •Случайные одномерные величины
- •Распределения вероятностей дискретной случайной величины
- •2.Распределение Пуассона
- •Основные формулы комбинаторики, используемые для определения вероятностей алгебры событий
- •Функция (интегральный закон) распределения с.В.
- •Плотность вероятности (дифференциальный закон) распределения непрерывной с.В.
- •Числовые характеристики распределения с.В.
- •Математическое (безусловное) ожидание с.В.
- •Дисперсия (безусловная) с.В.
- •5.Квантили распределения
- •Нормальное (Гауссово) распределение
- •Функция Лапласа
- •Равномерное (равновероятное, прямоугольное)
- •Показательное (экспоненциальное) распределение
- •Распределение χ2
- •Двумерные с.В. («проклятие размерности»)
- •Свойства
- •Условные математические ожидания (регрессии)
- •II. Математическая статистика
- •Построение эмпирической (статистической) функция распределения
- •Статистические оценки параметров распределения
- •Точечные оценки точности оценок (статистик) генеральных числовых характеристик
- •Математического ожидания и дисперсии
- •Доверительные интервалы оценки среднеквадратического отклонения
- •Методы оценки параметров известного распределения
- •1.Метод моментов (Пирсона)
- •2. Метод максимального правдоподобия (Фишера)
- •Парная линейная регрессия
- •Множественная линейная регрессия
- •Коэффициент детерминации регрессий
Распределения вероятностей дискретной случайной величины
, где - условие полноты группы
событий (нормировки)
... |
||||
|
... |
График: многоугольник или
полигон распределения
Пример. В денежной лотерее выпущены 100 билетов. При этом могут быть 1 выигрыш по 50 руб., 10 выигрышей по 1 руб. Найти закон распределения. Пусть – величина возможного выигрыша при покупке 1 билета. =50 руб.=1/100;
0 |
1 |
50 |
|
0,89 |
0,1 |
0,01 |
=0 руб.=89/100.
Известно более 100 аналитических распределений
1.Биноминальное распределение _(схема испытаний Бернулли)
Пример. Монета брошена 2 раза. Определить закон распределения числа выпадения герба. Пусть – появление «герба». Тогда
;
2.Распределение Пуассона
Схема испытаний Бернуллиформула Бернулли. При дополнительном условии локальная теорема Лапласа. При дополнительных условиях , вероятность «успехов» из испытаний определится асимптотической формулой Пуассона:
.
Формула Пуассона широко используется в теории массового обслуживания и в теории надежности, где- имеет смысл интенсивности отказов.
Пример. Поставщик отправил дистрибъютеру 5000 товаров. Вероятность того, что единица товара выйдет из строя 0,0002. Найти вероятность того, что у дистрибъютера выйдут из строя 3 единицы товара.
. .
Основные формулы комбинаторики, используемые для определения вероятностей алгебры событий
Комбинаторика изучает количество комбинаций, подчиненных определенным условиям для элементов конечного множества.
-
Перестановками называют комбинации, составленные из одних и тех же элементов множества, отличающихся только порядком расположения .
Пример. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, если каждая цифра входит в число один раз.
-
Размещениями называются комбинации, составленные из – различных элементов по – элементам, которые отличаются либо составом элементов, либо их порядком.
Пример. Сколько сигналов можно составить из 6 букв: A, B, C, D, E, F по 2 элемента?
AB, AC, AD, AE, AF
BA, BC, BD, BE, BF
CA, CB, CD, CE, CF
DA, DB, DC, DE, DF
EA, EB, EC, ED, EF
FA, FB, FC, FD, FE
-
Сочетаниями называют комбинации, составленные из n- различных элементов по m – элементам, которые отличаются хотя бы одним элементом.
Пример. Сколькими способами можно выбрать 2 детали из ящика, содержащего 10 деталей?
.
- связь числа размещений, перестановок и сочетаний.
Функция (интегральный закон) распределения с.В.
– является универсальной характеристикой и для непрерывных и для дискретных одномерных с.в. и описывает вероятность события :
.
Пример. Пусть случайная величина Х задана таблицей распределения (т.е. Х – дискретная случайная величина).
-
х
1
4
8
р
0,3
0,1
0,6
.
Свойства функции распределения
1. ;
2. ;
3. ;
4. - вероятность противоположного события;
5. - вероятность попадания в интервал значений.
х
6.