Глава 5.

Оптимизация систем при неполной информации

Рассматриваются задачи оптимизации сложных систем при неполной информации о присущих им закономерностей и условиях их функционирования. Предлагаются современные подходы их решения на основе принципов имитации систем и методов математического программирования. При этом особое внимание уделяется проблеме проектирования информационных систем принятия решений.

5.1. Оптимизация временных систем с дискретным контролем при нечётко заданных условиях

Объект исследования описывается уравнениями

, (5.1)

выходные переменные которого принимают конечное число значений

, а .

При конкретном каждому значению соответствует область (класс) в пространстве с плотностью вероятности , т.е. динамика состояний системы представляется множеством операторов распознавания образов

, если . (5.2)

Данная закономерность характерна для всех смежных интервалов времени .

Среди компонент будем различать контролируемые, например, и управляющие . Будем считать, что последние принимают конечное число значений .

Пусть нечёткая цель задана на множестве значений с функцией принадлежности

.

На управляющие воздействия наложены нечёткие ограничения с функциями принадлежности

.

Обозначим через – функцию принадлежности нечёткому решению.

Необходимо при конкретном состоянии и из условия

(5.3)

определить оптимальную последовательность .

Методика оптимизации системы (метод Заде – Беллмана). В условиях сформулированной задачи нечёткое решение

,

где – нечёткое множество в пространстве , соответствующее нечёткой цели .

Функция принадлежности нечёткому множеству определяется на основе и последовательным использованием модели (5.1). Например, при конкретном значении

. (5.4)

По аналогии подставим в (5.4) вместо его выражение в соответствии с (5.1)

.

Продолжая подобные операции получим .

Тогда функция принадлежности

. (5.5)

Здесь операции минимума обозначены знаком .

Для поиска максимума (5.5) воспользуемся методом динамического программирования, который предполагает выполнение двух процедур:

– планирование цели с интервала времени до второго

, (5.6)

;

– нахождение оптимальных управляющих воздействий путём решения последовательности максиминных задач

, (5.7)

где – состояние системы (5.1) в интервале времени , в которое система перешла под воздействием .

При определении траектории используется модель системы (5.1).

Пример

Постановка задачи. Временная система с дискретным контролем имеет структуру (рис. 5.1)

Рис. 5.1. Структура временной системы с дискретным контролем

Структура является однородной при (количество уровней).

Закономерность перехода между состояниями смежных уровней структуры системы определяется табл. 5.1.

Таблица 5.1

Закономерность перехода между состояниями смежных уровней

Нечеткие условия оптимизации системы:

;

;

.

Начальное состояние системы при соответствует состоянию .

Решение задачи. Отобразить нечёткую цель с третьего уровня на второй, использую процедуры

,

,

.

Будем искать максимум приведённых функций путём перебора значений .

Тогда при отображении нечёткой цели в состояние второго уровня функция принимает значения:

при

,

при

.

При определении значения функции, например , полагается, что система в состоянии и в интервале время на неё подано воздействие . В соответствии с моделью (табл. 5.1) система переходит в состояние , в котором нечёткая цель имеет значение .

Сравнивая при , , определяем его его максимальное значение

.

По аналогии имеем

при ,

при .

Выбираем в качестве

.

Далее

при имеем

,

при получим

.

Отсюда

.

Зная промежуточную нечёткую цель

и начальное состояние системы , найдём оптимальное значение в соответствии с процедурой

. (5.8)

При значении

.

При

.

Оптимальное воздействие соответствует максимальному значению (5.8), т.е. .

При в соответствии с моделью (табл. 5.1) система из состояния переходит в состояние .

Для определения оптимального значения повторно воспользуемся процедурой типа (5.8)

. (5.9)

При имеем

.

При получим

.

Поэтому из условия максимума (5.9) оптимальное значение .

Таким образом, результатом оптимизации исследуемой системы являются значения

, ,

под воздействием которых она изменяет своё состояние в соответствии с их траекторией

.

При данных условиях оптимизации невозможно достижение системой состояния .