2.1.2. Классический метод расчета переходных процессов

Рассмотрим, в чем состоит задача расчета переходных процессов в электрической цепи.

Рис .3. Подключение последовательного контура

к источнику ЭДС

На рис.3. последовательный контур в момент времени t = 0 подключается к источнику ЭДС e(t). Задача состоит в определения изменения тока i(t), напряжений на индуктивности, резисторе, емкости.

Составим для данной схемы уравнения в соответствии со вторым законом Кирхгофа:

u_L + u_r + u_C = e(t) , (3)

где u_L, u_r, u_c – падения напряжения на L, R и C соответственно. Поскольку

(4)

уравнение (3) можно записать в виде:

(5)

Решение данного неоднородного дифференциального уравнения будет представлять переходный процесс для напряжения на емкости. Решение линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения.

В дальнейшем будем называть составляющую общего интеграла, соответствующую общему решению однородного уравнения свободной составляющей, которая определяет изменение параметров цепи при отсутствии внешних источников энергии.

Частное решение характеризует принудительный режим в электрической цепи, создаваемый внешним источником электромагнитной энергии. Составляющую общего интеграла, соответствующую частному решению, будем называть принужденной составляющей. Если воздействующая функция (внешний источник) постоянна или является периодической функцией времени, то принужденная составляющая будет соответствовать установившемуся значению и может быть определена на основании рассмотренных ранее методов расчета электрических цепей в установившемся режиме.

В общем случае дифференциальное уравнение, описывающее переходный процесс в электрической цепи имеет вид:

(6)

соответствующее ему однородное уравнение:

(7)

Запишем характеристическое уравнение:

(8)

Его корни p₁, p₂, …p_n. Общее решение может быть представлено в виде:

, (9)

где А_1, А_{2, …}А_n -постоянные интегрирования.

Решение уравнения (7)

x(t) = x_св.(t) + x_пр.(t), (10)

где x_пр.(t ) - принужденная составляющая.

Для определения постоянных интегрирования необходимо использовать начальные условия:

x(0) ,x⁽¹⁾(0), х⁽²⁾(0),…x^(n-1)(0)

и значения

х_пр.(0), х⁽¹⁾_пр. (0), х⁽²⁾_пр.(0),…х^(n-1)_пр.(0)

Из (9) и (10) получим:

(11)

Из системы уравнений (11) находятся значения А₁, А₂, ...А_n. Изложенный метод расчета переходных процессов в электротехнике называют классическим. Следует отметить, что на практике решение этим методом дифференциальных уравнений, описывающих переходный процесс в электрической цепи, выше второго порядка оказывается достаточно трудоемким.

Рассмотрим более подробно применение классического метода для расчета переходных процессов, описываемых дифференциальными уравнениями первого и второго порядка. В зависимости от порядка дифференциального уравнения различают цепи первого и второго порядков.

а). Составление дифференциального и характеристического уравнений

Дифференциальное уравнение, описывающее переходный процесс в электрической цепи, составляется на основе первого и второго законов Кирхгофа для коммутационной схемы (по методу контурных токов, узловых потенциалов) и использования соотношений, связывающих токи и напряжения на резисторе, индуктивности емкости.

Уравнения разрешаются относительно одной из переменных и сводятся к одному линейному неоднородному дифференциальному уравнению. Рассмотрим составление дифференциального уравнения на примере электрической схемы рис.4.

Рис.4. Пример к составлению дифференциального

и характеристического уравнений

Запишем уравнения для узла 1:

i₁ - i₂ - i₃ =0 (12)

Для двух внутренних контуров:

(13)

Учитывая, что (14)

из (12), (14) разрешая относительно u_c , получим:

или

(15)

Соответствующее этому дифференциальному уравнению характеристическое уравнение имеет вид:

(16)

б). Расчет переходных процессов в цепях с RL и RC- элементами

Общий вид дифференциального уравнения

а₁х¹ + а₀х = f(t)

Соответствующее характеристическое уравнение

a₁p + a₀ = 0

имеет один корень p =

Свободная составляющая ищется в виде:

х_св.(t) = A e ^pt

Если определена принужденная составляющая, то постоянная интегрирования

A = x_св.(0 )= х(0) - х_пр.(0)

Значение х(0) находится из независимых начальных условий.

В общем случае для цепи первого порядка целесообразно искать реше­ние для тока в ветви с индуктивностью или для напряжения на емкости, а затем, используя соотношения (4), определять другие параметры пе­реходного процесса.

Применим описанный прием к расчету переходного процесса в электрической цепи с катушкой индуктивности с параметрами R и L , которая в момент времени t =0 подключается к источнику постоянной ЭДС Е. Схема цепи показана на рис.(5).

Рис. 5. Подключение катушки индуктивности к источнику постоянной ЭДС

Дифференциальное уравнение для записывается в виде: (17)

Характеристическое уравнение:

(18)

Применяя изложенный выше прием для получения характеристического уравнения, запишем:

,

т.е. вид характеристического уравнения совпадает с выражением ( 18 ).

Решение будем искать в виде:

(19)

Корень характеристического уравнения один:

(20)

Следовательно, свободная составляющая, например, тока ищется в виде:

(21)

Принужденная составляющая соответствует установившемуся постоянному току, т.к. в цепи действует постоянная э.д.с.

(22)

Постоянную интегрирования определяем из начальных условий:

(23)

В соответствии с первым законом коммутации

Поскольку ,

Следовательно ,

(24)

На рис.6 приведены кривые свободной и принужденной составляющих переходного тока.

В показателе экспоненты свободной составляющей коэффициент имеет размерность . Величина, кратная этому коэффициенту, носит название постоянной времени. Постоянная времени графически определяется длиной подкасательной к кривой . За время свободная составляющая убывает в e раз. На практике считают, что переходный процесс заканчивается через время. Напряжение на индуктивности u_L(t) можно найти из выражения:

(25)

i

Рис.6. Изменение тока в катушке

Рассмотрим задачу отключения катушки от источника ЭДС и включения ее на резистор. Схема цепи показана на рис.7.

Определим переходный ток. Решение ищется в виде:

(26)

Найдем характеристическое уравнение. Разорвав контур, запишем уравнение для комплекса входного сопротивления:

(27)

Следовательно, характеристическое уравнение

(28)

Рис. 7. Отключение катушки индуктивности от источника ЭДС

Соответственно его корень, (29)

откуда свободный ток

(30)

Постоянная интегрирования

(31)

Согласно первому закону коммутации

(32)

Принужденный ток (33)

Следовательно:

и (34)

Постоянная времени данной цепи

(35)

На рис.8 показаны кривые изменения тока i(t) и напряжения на индуктивности

Рассмотрим характер переходных процессов в цепи с синусоидальной ЭДС .

Схема электрической цепи показана на рис.9.

Решение для i(t) ищется в виде:

(36)

Характеристическое уравнение для послекоммутационной схемы pL + r = 0

Корень (37)

Следовательно, свободный ток (38)

Рис.7. График изменения тока в катушке индуктивности

Рис. 8. Электрическая цепь с синусоидальной ЭДС

Постоянную интегрирования найдем из выражения

A = i_св. (0) = i (0) – i_пр. (0)

В cooтветствии с первым законом коммутации

i (0) = i (0_- )

Найдем значения тока i (0_-). Для докоммутационной схемы (предполагая установившийся режим в цепи с синусоидальной ЭДС ) комплексная амплитуда тока

, (39)

где

(40)

(41)

Для t

(42)

Тогда

(43)

Принужденный ток равен установившемуся синусоидальному току, комплексная амплитуда которого

, (44)

где

(45)

(46)

для момента времени t = 0

(47)

Запишем выражение для i(t)

, (49)

где (50)

На рис. 9. приведены кривые i_св., i_пр., i.

Если в момент коммутации

(51)

свободный ток отсутствует, и в цепи сразу наступает принужденный режим. В случае, когда

, (52)

максимальное значение переходного тока будет превышать его ам­плитуду в установившемся режиме.

Рис.9. График изменения тока в катушке индуктивности

Методика расчета переходных процесcов в цепи с RС –элементами сохраняется той же, что и для цепи RL. Для того, чтобы при определении постоянной интегрирования непосредственно использовать независимые начальные условия, целесообразно искать решение для u_C(t). Рассмотрим схему рис.10.

В момент времени t=0 параллельно r₂ подключается конден­сатор С, заряженный предварительно до напряжения u_c(0). Определим закон изменения u_c(t). Решение ищем в виде:

u_С(t) = u_Cсв.(t)+ u_Cпр.(t) (53)

Для определения вида u_Cсв.(t) запишем характеристическое уравнение

(54)

Рис.10. Схемa подключения конденсатора

Корень этого уравнения

(55)

Тогда (56)

Постоянная интегрирования

(57)

В соответствии со вторым законом коммутации

u_c(0) = u_c(0_-)

Принужденная составляющая напряжения равна установившемуся значению

(58)

Искомое напряжение на емкости , (59)

где – постоянная времени цепи.

Кривые u_cсв.(t) и u_c(t) приведены на рис.11. При построении принималось, что

Рис.11. График изменения напряжения на конденсаторе

Если , то переходный процесс не возникает.

При u_c(0_-) = 0 кривая u_c представляет собой экспоненту, начальное значение которой (при t=0) равно нулю, а установившееся значение совпадает с u_cпр. .

в). Расчет переходных процессов в электрических цепях с R,L,C - элементами

Дифференциальное уравнение для такой цепи имеет вид:

(60)

Решение для х ищется как сумма свободной и принужденной составляющих

x(t) = x_св.(t) + x_пр.(t) (61)

Характеристическое уравнение

а₂p² + a₁p + a₀ = 0 (62)

имеет два корня

(63)

В зависимости от соотношения коэффициентов корни могут быть:

1.Действительными, отрицательными, неравными. В этом случае свободная составляющая определяется в виде:

(64)

2. Действительными, отрицательными, кратными:

(65)

В этом случае целесообразно представить х_св. в виде:

(66)

3. Комплексно-сопряженными с отрицательной действительной частью:

(67)

Решение для х_св. может быть найдено в виде:

(68)

Постоянные интегрирования А₁, А₂, находятся из начальных условий:

(69)

Рассмотрим переходные процессы в R,L,C- цепи с источником постоянной ЭДС.

На схеме рис.12. в момент времени t = 0 параллельно r₂ подключается конденсатор С, заряженный предварительно до напряжения u_c(0_-). Определим закон изменения во времени тока в неразветвленной части цепи.

Решение для i₁(t) будем искать в виде:

i₁(t) = i_1св.(t) + i_1пр.(t) (70)

Рис.12. Схема коммутации в цепи с R, L, C-элементами

Характеристическое уравнение

(71)

Корни уравнения

(72)

Рассмотрим случай, когда , т.е. корни действительные, отрицательные и . Тогда

(73)

Принужденный ток находится из расчета установившегося режима (74)

Определим постоянные интегрирования A₁ и A₂ . Из ( 74 ) и ( 70 ) i_1св.(0) = A₁ + A₂ = i₁(0) - i_1пр.(0)

i_1св.^/(0) = p₁A₁ + p₂A₂ = i₁ ^/(0) - i_1пр. ^/(0) (75)

Значение i₁(0) определим, используя первый закон коммутации (т.к. находится ток в ветви с индуктивностью):

(76)

Для определения i₁^/(0) необходимо использовать второе независимое начальное условие, т.е. u_c(0_-) = u_c(0). Составим уравнение по второму закону Кирхгофа для внешнего контура:

(77)

Отсюда находим

(78)

Из уравнений (75) с учетом значений i₁(0) и i₁^/(0) находим:

(79)

Решение для i₁(t) будет иметь вид:

(80)

Поскольку i₁(0) = i_1пр.(0) - А₁ = А₂ , (81)

т.е. i_1св.(t) складывается из двух экспонент с одинаковыми по величине и разными по знаку значениями и различными постоянными времени. На рис.12. показана кривая i₁(t) , построенная по выражению (80 ).

В случае, когда корни p₁ и p₂ характеристического уравнения равны, решение для i_1св.(t) ищется в виде:

i_1св. (t) = (A₁ + A₂t )e^- (82)

Постоянные интегрирования

(83)

Для рассматриваемой схемы электрической цепи с учетом (74), (76) и (78)

A₁ = 0 A₂ = i₁ ^/(0)

Решение для i₁(t) имеет вид:

(84)

Кривая тока аналогична кривой i₁ на рис.10.

Пусть корни p₁ и p₂ комплексно-сопряженные. Решение для i_1св.(t) ищем в виде:

Рис.13. График изменения тока

Постоянные интегрирования A и определим из соотношений:

Подставляя значения i₁(0), i_1пр.(0), i₁^/(0) и i_1пр.^/(0)

находим:

Окончательно решение для i₁(t) имеет вид:

Кривые i_1св.(t), i_1пр.(t) и i₁(t) показаны на рис.14.

Свободная составляющая i_cв.(t) описывает затухающие синусоидальные колебания с частотой и начальной фазой, равной нулю. Огибающая колебаний определяется кривой . Коэффициент называют коэффициентом затухания.

Чем больше коэффициент затухания, тем быстрее затухает колебательный процесс.

Рис.14. График изменения тока

При синусоидальной э.д.с. принужденный режим соответствует установившемуся при синусоидальных токах. Общий вид решения для свободных составляющих остается тем же, что и при постоянной э.д.с. Начальные условия определяются в результате расчета установившегося режима в докоммутационной схеме.

С усложнением схемы электрической цепи, увеличением количества элементов L и C в схеме, увеличивается порядок дифференциального уравнения. Основные трудности в расчете переходных процессов в сложных цепях состоят в определении постоянных интегрирования. В общем случае они рассчитываются через зависимые начальные условия. Некоторое упрощение этой задачи дает составление схемы замещения, в которой индуктивности заменены на идеальные источники тока i_L(0) , а емкости – на идеальные источники ЭДС u_c(0).