5.5. Квадратичная аппроксимация или аппроксимация кривых методом наименьших квадратов

Пусть функция f(x) задана таблицей:

x	x0	x1	x2	…	xn
f(x)	y0	y1	y2	…	yn

Требуется найти аппроксимирующую кривую y(x) в диапазоне [x₀,x_n].

В случае, когда исходные данные носят случайный характер, и для всех табличных значений известна некоторая погрешность или доверительный интервал, строят сравнительно простую аппроксимирующую функцию, не обязательно проходящую через все точки. Данный подход называют подгонкой кривой, которую стремятся провести так, чтобы ее отклонения табличных данных были минимальными, т.е. получаемая функция должна отклоняться от табличных значений незначительно (проходить внутри доверительного интервала). Обычно стремятся свести к минимуму сумму квадратов разностей между значениями функции, определяемыми выбранной кривой и таблицей.

Такой метод подгонки называют методом наименьших квадратов.

Пусть

(23)

искомый полином (m<n, т.к. меньшая степень более удобна для использования и не всегда полином степени n является наиболее подходящим для данной функции).

Отклонение полинома Q_m от функции f(x) принимает величину:

Необходимо, чтобы величина R_m была наименьшей.

Найдем частные производные R_m по неизвестным коэффициентам a_i.

Приравнивая производно к нулю, получим систему из m+1 уравнения с m+1 неизвестными для определения неизвестных коэффициентов a₀, a₁, …, a_m:

Введем обозначения:

Преобразуем систему, используя обозначения:

(24)

Если среди точек нет совпадающих и m≤n, то определитель системы (24) отличен от нуля и, следовательно, эта система имеет единственное решение.

Многочлен (23) с такими коэффициентами будет обладать минимальными квадратичными отклонениями.

Пример