- •Раздзел 4. Інтэгральнае злічэнне. §4.1. Азначэнне і ўласцівасці нявызначанага інтэграла.
- •1° Азначэнне нявызначанага інтэграла.
- •Тэарэма 1 (пра агульны выгляд першаіснай). Няхай функцыя ёсць першаісная для на х. Функцыя ёсць таксама першаісная для , калі і толькі калі .
- •2° Уласцівасці нявызначанага інтэграла.
- •§4.2. Асноўныя метады інтэгравання.
- •1º. Метад падстановы.
- •Тэарэма 1. Калі функцыя мае першаісную на прамежку т, а функцыя ёсць дыферэнцавальная на х, прычым , то
- •2º. Метад інтэгравання часткамі.
- •§4.4. Метад рацыяналізацыі.
- •1º. Інтэграванне дробава-лінейнай ірацыянальнасці.
- •2º. Інтэграванне біномнага дыферэнцыяла.
- •3º. Інтэграванне рацыянальна-трыганаметрычных функцый.
- •4º. Інтэграванне квадратовых ірацыянальнасцяў.
- •§4.5. Азначэнне і ўмовы існавання вызначанага інтэграла.
- •Прыклад 1. Вылічыць
- •Прыклад 2. Вылічыць паводле азначэння .
- •Заўвага. Абмежаванасць ёсць недастатковая ўмова для інтэгравальнасці функцыі.
- •Крытэр інтэгравальнасці. Для таго каб функцыя , вызначаная і абмежаваная на адрэзку , была інтэгравальнаю на гэтым адрэзку, неабходна і дастаткова, каб гэтая функцыя адпавядала ўмове
- •§4.6. Класы інтэгравальных функцый.
- •Тэарэма 1 (Інтэгравальнасць непарыўнай функцыі). Непарыўная на адрэзку функцыя ёсць інтэгравальная на гэтым адрэзку.
- •§4.8. Ацэнкі інтэгралаў.
- •Вынік 2 (Тэарэма пра пасярэдняе значэнне непарыўнай функцыі). Калі функцыя ёсць непарыўная, то існуе лік такі, што
- •1º. Формула Ньютана-Ляйбніца.
- •2º. Замена зменнай .
- •3º. Інтэграванне часткамі.
- •4º. Інтэграванне цотнай, няцотнай і перыядычнай функцый.
- •1º.Плошча плоскай фігуры.
- •Прыклад 1. Вылічыць плошчу фігуры, абмежаванай крывымі і .
- •Прыклад 2. Вылічыць плошчу фігуры, абмежаванай крывой . ►Спачатку зробім рысунак фігуры
- •2º. Даўжыня крывой.
- •Прыклад 3. Вылічыць даўжыню адной аркі цыклоіды (акружына радыюса коціцца па восі абцысаў).
- •3º. Аб’ём цела авароту.
- •Прыклад 5. Вылічыць аб’ём тора, г. Зн. Цела, якое атрымліваецца ад авароту круга радыюса вакол восі, што ляжыць у плоскасці гэтага круга на адлегласці ад яго цэнтра.
- •§4.13. Інтэграл па бясконцым прамежку (ні-1).
- •Прыклад 1. Вылічыць .
- •Тэарэма 2 (лімітавая прыкмета параўнання). Няхай функцыя а і няхай . Тады:
- •Калі ёсць збежны і , то – таксама збежны;
- •2) Калі ёсць разбежны і , то – разбежны.
- •Прыклады. А) збежны, бо .
- •§4.15. Умоўная збежнасць ні-1.
- •Тэарэма 1 (Прыкмета Дырыхле). Няхай функцыя ёсць непарыўная і мае абмежаваную першаісную на . Няхай функцыя ёсць непарыўна дыферэнцавальная і манатонная на і . Тады інтэграл – збежны.
- •Тэарэма 2 (прыкмета Абэля). Калі функцыя ёсць непарыўная на і – збежны, а функцыя абмежаваная і яе вытворная – непарыўная і не мяняе знаку на , то – збежны.
- •Прыклад 1. Даследаваць на абсалютную збежнасць інтэграл .
- •Прыклад 2. Даследуем інтэграл Фрэнэля на збежнасць.
- •§4.16. Неўласцівыя інтэгралы ад неабмежаваных функцый.
Прыклады. А) збежны, бо .
б) разбежны, бо .
в) збежны, бо нарастае хутчэй за любую ступень, таму . Такім чынам,
Практыкаванне. Дакажыце, што збежны пры .
г) збежны, бо – лянівая функцыя, таму . Такім чынам, .
Практыкаванне. Дакажыце, што збежны пры .
def. Неўласцівы інтэграл называецца абсалютна збежным, калі ін-тэграл ёсць збежны.
Заўвага 3. З абсалютнай збежнасці НІ-1 вынікае яго збежнасць, паколькі , г. зн. выконваецца крытэр Кашы.
§4.15. Умоўная збежнасць ні-1.
def. Калі інтэграл ёсць збежны, а – разбежны, то інтэграл называецца ўмоўна збежным.
Тэарэма 1 (Прыкмета Дырыхле). Няхай функцыя ёсць непарыўная і мае абмежаваную першаісную на . Няхай функцыя ёсць непарыўна дыферэнцавальная і манатонная на і . Тады інтэграл – збежны.
□ Пераканаемся, што для функцыі выконваецца крытэр інтэгра-вальнасці Кашы. Правядзем інтэграванне часткамі
Паколькі абмежаваная, то , прычым . Такім чынам, маем
Паколькі , то . Таму
Згодна з крытэрам Кашы інтэграл – збежны. ■
Тэарэма 2 (прыкмета Абэля). Калі функцыя ёсць непарыўная на і – збежны, а функцыя абмежаваная і яе вытворная – непарыўная і не мяняе знаку на , то – збежны.
□ Доказ вынікае з прыкметы Дырыхле. Паколькі вытворная функцыі не мяняе знаку, то яна манатонная на , а тады з яе абмежаванасці вынікае існаванне ліміта . З роўнасці
вынікае: дастаткова даказаць збежнасць .
Паколькі і функцыя – манатонная, то, каб скарыстацца прыкметаю Дырыхле, дастаткова даказаць, што першаісная для ёсць абмежаваная.
Сапраўды, паколькі інтэграл – збежны, то існуе ліміт , а інтэграл – першаісная для непарыўнай функцыі ёсць функцыя непарыўная на любым адрэзку . Паколькі ліміт гэтай функцыі існуе на , то яна – абмежаваная на . ■
Прыклад 1. Даследаваць на абсалютную збежнасць інтэграл .
► Першаісная функцыі ёсць – абмежаваная, а функцыя – манатонная і бясконца малая на прамежку . Паводле прыкметы Дырыхле інтэграл – збежны.
Даследуем інтэграл на абсалютную збежнасць. З няроўнасці нічога не вынікае. Але і пры гэтым інтэграл паводле прыкметы Дырыхле ёсць збежны.
Калі б інтэграл быў збежны, то з няроўнасці мелі б, што – збежны, але ж ён разбежны. Такім чынам, – разбежны, а інтэграл – умоўна збежны. ◄
Прыклад 2. Даследуем інтэграл Фрэнэля на збежнасць.
►Запішам падынтэгральную функцыю у выглядзе . Паколькі першаісная – абмежаваная, а функцыя манатонна імкнецца да нуля, то на падставе прыкметы Дырыхле інтэграл Фрэнэля – збежны.
Зазначым, што інтэграл – разбежны. ◄
§4.16. Неўласцівыя інтэгралы ад неабмежаваных функцый.
def. Калі функцыя ёсць неабмежаваная ў пункце , і інтэгравальная на кожным адрэзку ( упрыватнасці ёсць абмежаваная на адрэзку ), то пункт называюць асаблівым пунктам функцыі .
def. Ліміт
(1)
называюць неўласцівым інтэгралам ад неабмежаванай функцыі на адрэзку (або неўласцівым інтэгралам другога роду, НІ-2) і абазначаюць
. (2)
Калі існуе канечны ліміт (1), то Ні-2 (2) называюць збежным. Калі ж ліміт (1) не існуе, то кажуць, што інтэграл (2) ёсць разбежны.
Заўвага 1. Калі , то інтэгралы і збягаюцца або разбягаюцца адначасова.
Заўвага 2. Формулу (2) бывае больш зручна запісваць у выглядзе
. (3)
Аналагічна азначаецца неўласцівы інтэграл , калі ёсць асаблівы пункт функцыі
.
Калі ж пункт ёсць асаблівы пункт функцыі , і інтэгралы і – збежныя, то
=+.
Далей для пэўнасці мы будзем вывучаць НІ-2, якія азначаюцца формуламі (2), або (3).
Паміж НІ-1 і НІ-2 існуе пэўная сувязь.
Сапраўды, няхай ёсць інтэгравальная на і – яе асаблівы пункт. У інтэграле з (3) зробім замену
і атрымаем . Такім чынам, прыходзім да роўнасці
.
Гэта азначае, што для НІ-2 праўдзяцца ўласцівасці, аналагічныя адпаведным уласцівасцям для НІ-1, а на збежнасць НІ–2 можна даследаваць як НІ–1, які атрымліваецца з яго пасля замены .
Прыклад 1. Даследуем на збежнасць .
► Калі ў гэтым інтэграле зрабіць вышэй згаданую замену
,
то мы прыходзім да інтэграла , які ёсць збежны толькі пры або . Такім чынам, разгляданы намі інтэграл ёсць збежны пры і разбежны пры . У прыватнасці, ёсць збежны толькі пры . ◄
Аналагічна, як і для НІ-1 можна даказаць наступныя тэарэмы.
Тэарэма 1 (прыкмета параўнання). Няхай . Калі ёсць збежны, то таксама збежны. Калі ж разбежны, то таксама разбежны .
Тэарэма 2 (лімітавая прыкмета параўнання). Калі функцыі і і мае месца то абодва інтэгралы і збягаюцца або разбягаюцца адначасова. У прыватнасці гэта мае месца, калі .
Вынік Калі , то збежны толькі пры .
Прыклад 1. Даследуем на збежнасць .
► Паколькі , то , а таму . Такім чынам, інтэграл разбежны, паколькі . ◄
def. НІ-2 называецца абсалютна збежным, калі збягаецца інтэграл . З абсалютнай збежнасці інтэграла вынікае яго збежнасць.
def. Калі НІ-2 ёсць збежны, а інтэграл – разбежны то НІ-2 называецца ўмоўна збежным.
Прыклад 3. Даследуем на збежнасць інтэграл .
► Паколькі , то пабудуем для падынтэгральнай функцыі эквівалентныя у пунктах і :
1). – інтэграл збежны;
2). – інтэграл разбежны.
Такім чынам, інтэграл ёсць разбежны. ◄
Прыклад 4. Даследуем на збежнасць інтэграл .
► Паколькі , то ў пункце інтэграл збежны, а паколькі , то і ў пункце інтэграл збежны. Такім чынам, інтэграл збежны. ◄
Прыклад 5. Даследуем на збежнасць інтэграл .
► Паколькі , то першы інтэграл існуе як вызначаны, а другі ёсць збежны паводле прыкметы Дырыхле. Такім чынам, інтэграл збежны.◄
Прыклад 6. Пры якіх значэннях інтэграл ёсць збежны?
► Заўсёды разбежны. ◄