- •Раздзел 4. Інтэгральнае злічэнне. §4.1. Азначэнне і ўласцівасці нявызначанага інтэграла.
- •1° Азначэнне нявызначанага інтэграла.
- •Тэарэма 1 (пра агульны выгляд першаіснай). Няхай функцыя ёсць першаісная для на х. Функцыя ёсць таксама першаісная для , калі і толькі калі .
- •2° Уласцівасці нявызначанага інтэграла.
- •§4.2. Асноўныя метады інтэгравання.
- •1º. Метад падстановы.
- •Тэарэма 1. Калі функцыя мае першаісную на прамежку т, а функцыя ёсць дыферэнцавальная на х, прычым , то
- •2º. Метад інтэгравання часткамі.
- •§4.4. Метад рацыяналізацыі.
- •1º. Інтэграванне дробава-лінейнай ірацыянальнасці.
- •2º. Інтэграванне біномнага дыферэнцыяла.
- •3º. Інтэграванне рацыянальна-трыганаметрычных функцый.
- •4º. Інтэграванне квадратовых ірацыянальнасцяў.
- •§4.5. Азначэнне і ўмовы існавання вызначанага інтэграла.
- •Прыклад 1. Вылічыць
- •Прыклад 2. Вылічыць паводле азначэння .
- •Заўвага. Абмежаванасць ёсць недастатковая ўмова для інтэгравальнасці функцыі.
- •Крытэр інтэгравальнасці. Для таго каб функцыя , вызначаная і абмежаваная на адрэзку , была інтэгравальнаю на гэтым адрэзку, неабходна і дастаткова, каб гэтая функцыя адпавядала ўмове
- •§4.6. Класы інтэгравальных функцый.
- •Тэарэма 1 (Інтэгравальнасць непарыўнай функцыі). Непарыўная на адрэзку функцыя ёсць інтэгравальная на гэтым адрэзку.
- •§4.8. Ацэнкі інтэгралаў.
- •Вынік 2 (Тэарэма пра пасярэдняе значэнне непарыўнай функцыі). Калі функцыя ёсць непарыўная, то існуе лік такі, што
- •1º. Формула Ньютана-Ляйбніца.
- •2º. Замена зменнай .
- •3º. Інтэграванне часткамі.
- •4º. Інтэграванне цотнай, няцотнай і перыядычнай функцый.
- •1º.Плошча плоскай фігуры.
- •Прыклад 1. Вылічыць плошчу фігуры, абмежаванай крывымі і .
- •Прыклад 2. Вылічыць плошчу фігуры, абмежаванай крывой . ►Спачатку зробім рысунак фігуры
- •2º. Даўжыня крывой.
- •Прыклад 3. Вылічыць даўжыню адной аркі цыклоіды (акружына радыюса коціцца па восі абцысаў).
- •3º. Аб’ём цела авароту.
- •Прыклад 5. Вылічыць аб’ём тора, г. Зн. Цела, якое атрымліваецца ад авароту круга радыюса вакол восі, што ляжыць у плоскасці гэтага круга на адлегласці ад яго цэнтра.
- •§4.13. Інтэграл па бясконцым прамежку (ні-1).
- •Прыклад 1. Вылічыць .
- •Тэарэма 2 (лімітавая прыкмета параўнання). Няхай функцыя а і няхай . Тады:
- •Калі ёсць збежны і , то – таксама збежны;
- •2) Калі ёсць разбежны і , то – разбежны.
- •Прыклады. А) збежны, бо .
- •§4.15. Умоўная збежнасць ні-1.
- •Тэарэма 1 (Прыкмета Дырыхле). Няхай функцыя ёсць непарыўная і мае абмежаваную першаісную на . Няхай функцыя ёсць непарыўна дыферэнцавальная і манатонная на і . Тады інтэграл – збежны.
- •Тэарэма 2 (прыкмета Абэля). Калі функцыя ёсць непарыўная на і – збежны, а функцыя абмежаваная і яе вытворная – непарыўная і не мяняе знаку на , то – збежны.
- •Прыклад 1. Даследаваць на абсалютную збежнасць інтэграл .
- •Прыклад 2. Даследуем інтэграл Фрэнэля на збежнасць.
- •§4.16. Неўласцівыя інтэгралы ад неабмежаваных функцый.
Тэарэма 1. Калі функцыя мае першаісную на прамежку т, а функцыя ёсць дыферэнцавальная на х, прычым , то
(1)
□ Дастаткова паказаць, што ёсць першаісная для падінтэгральнай функцыі. Паводле правіла дыферэнцавання складанай функцыі маем
. ■
Формулу (1) называюць формулай замены зменнай у нявызначаным інтэграле. Для яе практычнага выкарыстання больш зручным з’яўляецца наступны яе запіс
(2)
прычым пры гэтым кажуць, што выкарыстоўваецца метад паднясення пад дыферэнцыял.
Такім чынам, у табліцы інтэгралаў зменную інтэгравання х можна разглядаць як функцыю ад іншай зменнай.
Прыклад 1.
.
Прыклад 2.
,
або
Прыклад 3.
2º. Метад інтэгравання часткамі.
Тэарэма 2. Калі функцыі – дыферэнцавальныя на інтэрвале Х, а функцыя мае першаісную на гэтым інтэрвале, то функцыя таксама мае на Х першаісную, прычым
. (3)
□ Адпаведна правілу дыферэнцавання здабытку маем , адкуль . Паколькі для функцыі існуе першаісная, а для функцыі першаіснай з’яўляецца , то функцыя таксама мае першаісную, а таму
Канстанта С улучана ў нявызначаны інтэграл . ■
Формулу (3) звычайна выкарыстоўваюць у больш простым выглядзе
(4)
Прыклад 4. Вылічыць .
►◄
Прыклад 5. Вылічыць
► ◄
Іншы раз інтэграванне часткамі даводзіцца выкарыстоўваць некалькі разоў.
Прыклад 6. Вылічыць .
►
◄
Вылічэнне інтэгралаў ад функцый зводзіцца да лінейнага раўнання ў дачыненні да зыходнага інтэграла.
Прыклад 7. Вылічыць .
►
Прыйшлі да раўнання ◄
§4.3. Інтэграванне рацыянальных функцый.
Няхай – рацыянальная функцыя, дзе мнагасклады супеняў і . Калі (г. зн. рацыянальная функцыя ёсць няправільная), то згодна з тэарэмаю пра выяўленне мнагаскладу . Такім чынам, маем , г. зн. рацыянальную функцыю можна падаць як суму мнагаскладу і правільнай рацыянальнай функцыі. Мнагасклад інтэгруецца як сума ступеневых функцый. Што да правільнай рацыянальнай функцыі, то згодна з тэарэмаю пра раскладанне правільнай рацыянальнай функцыі на суму простых дробаў, нам дастаткова навучыцца інтэграваць простыя дробы:
1) ; 2) .
1а) (). .
1б) (). .
2) У інтэграле зробім замену зменнай ,
. Маем
А1)
А2)
В1)
В2) .
(1)
(2)
Падставім (2) у (1)
Адкуль атрымліваем (3)
– рэкурэнтную формулу для вылічэння інтэграла
Прыклад 1. Вылічыць .
► Паводле формулы (3) маем
.
Прыклад 2. Вылічыць .
► Метадам нявызначаных каэфіцыентаў раскладзем падынтэгральную функцыю на суму простых дробаў
.
Спосабам дамнажэння вылічаем канстанты :
,
.
Пры маем . Такім чынам, =
=. ◄
Заўвага. Калі назоўнік правільнай рацыянальнай функцыі мае кратныя корні, то пры вылічэнні інтэграла карыстаюцца метадам Астраградскага, паводле якога інтэграл шукаецца ў выглядзе
(4)
дзе – мнагасклад, які мае тыя ж корні, што і мнагасклад , але кратрасці 1, а . Пры гэтым функцыі – правільныя рацыянальныя функцыі з нявызначанымі ў лічніку каэфіцыентамі.
Каэфіцыенты мнагаскладаў вылічаюцца метадам адпаведных каэфіцыентаў з роўнасці, якая атрымліваецца пасля дыферэнцавання (4).
Прыклад 3. Вылічыць .
► Згодна з метадам Астраградскага запішам роўнасць
, пасля дыферэнцавання якой маем
.
З апошняй роўнасці метадам адпаведных каэфіцыентаў атрымліваем сістэму
адкуль Такім чынам, .
Канчаткова маем . ◄