- •Раздзел 4. Інтэгральнае злічэнне. §4.1. Азначэнне і ўласцівасці нявызначанага інтэграла.
- •1° Азначэнне нявызначанага інтэграла.
- •Тэарэма 1 (пра агульны выгляд першаіснай). Няхай функцыя ёсць першаісная для на х. Функцыя ёсць таксама першаісная для , калі і толькі калі .
- •2° Уласцівасці нявызначанага інтэграла.
- •§4.2. Асноўныя метады інтэгравання.
- •1º. Метад падстановы.
- •Тэарэма 1. Калі функцыя мае першаісную на прамежку т, а функцыя ёсць дыферэнцавальная на х, прычым , то
- •2º. Метад інтэгравання часткамі.
- •§4.4. Метад рацыяналізацыі.
- •1º. Інтэграванне дробава-лінейнай ірацыянальнасці.
- •2º. Інтэграванне біномнага дыферэнцыяла.
- •3º. Інтэграванне рацыянальна-трыганаметрычных функцый.
- •4º. Інтэграванне квадратовых ірацыянальнасцяў.
- •§4.5. Азначэнне і ўмовы існавання вызначанага інтэграла.
- •Прыклад 1. Вылічыць
- •Прыклад 2. Вылічыць паводле азначэння .
- •Заўвага. Абмежаванасць ёсць недастатковая ўмова для інтэгравальнасці функцыі.
- •Крытэр інтэгравальнасці. Для таго каб функцыя , вызначаная і абмежаваная на адрэзку , была інтэгравальнаю на гэтым адрэзку, неабходна і дастаткова, каб гэтая функцыя адпавядала ўмове
- •§4.6. Класы інтэгравальных функцый.
- •Тэарэма 1 (Інтэгравальнасць непарыўнай функцыі). Непарыўная на адрэзку функцыя ёсць інтэгравальная на гэтым адрэзку.
- •§4.8. Ацэнкі інтэгралаў.
- •Вынік 2 (Тэарэма пра пасярэдняе значэнне непарыўнай функцыі). Калі функцыя ёсць непарыўная, то існуе лік такі, што
- •1º. Формула Ньютана-Ляйбніца.
- •2º. Замена зменнай .
- •3º. Інтэграванне часткамі.
- •4º. Інтэграванне цотнай, няцотнай і перыядычнай функцый.
- •1º.Плошча плоскай фігуры.
- •Прыклад 1. Вылічыць плошчу фігуры, абмежаванай крывымі і .
- •Прыклад 2. Вылічыць плошчу фігуры, абмежаванай крывой . ►Спачатку зробім рысунак фігуры
- •2º. Даўжыня крывой.
- •Прыклад 3. Вылічыць даўжыню адной аркі цыклоіды (акружына радыюса коціцца па восі абцысаў).
- •3º. Аб’ём цела авароту.
- •Прыклад 5. Вылічыць аб’ём тора, г. Зн. Цела, якое атрымліваецца ад авароту круга радыюса вакол восі, што ляжыць у плоскасці гэтага круга на адлегласці ад яго цэнтра.
- •§4.13. Інтэграл па бясконцым прамежку (ні-1).
- •Прыклад 1. Вылічыць .
- •Тэарэма 2 (лімітавая прыкмета параўнання). Няхай функцыя а і няхай . Тады:
- •Калі ёсць збежны і , то – таксама збежны;
- •2) Калі ёсць разбежны і , то – разбежны.
- •Прыклады. А) збежны, бо .
- •§4.15. Умоўная збежнасць ні-1.
- •Тэарэма 1 (Прыкмета Дырыхле). Няхай функцыя ёсць непарыўная і мае абмежаваную першаісную на . Няхай функцыя ёсць непарыўна дыферэнцавальная і манатонная на і . Тады інтэграл – збежны.
- •Тэарэма 2 (прыкмета Абэля). Калі функцыя ёсць непарыўная на і – збежны, а функцыя абмежаваная і яе вытворная – непарыўная і не мяняе знаку на , то – збежны.
- •Прыклад 1. Даследаваць на абсалютную збежнасць інтэграл .
- •Прыклад 2. Даследуем інтэграл Фрэнэля на збежнасць.
- •§4.16. Неўласцівыя інтэгралы ад неабмежаваных функцый.
§4.5. Азначэнне і ўмовы існавання вызначанага інтэграла.
Няхай функцыя вызначана на адрэзку (магчыма разрыўная, магчыма непарыўная, магчыма недыферэнцавальная, магчыма дыферэнцавальная ў пунктах адрэзка). Няхай – сукупнасць пунктаў гэтага адрэзка такіх, што . Мноства гэтых пунктаў назавем падзелам адрэзка і абазначым . Адрэзкі назавем адрэзкамі падзелу , або частковымі адрэзкамі адрэзка .
Абазначым праз даўжыні адрэзкаў . Лік назавем дробнасцю падзелу . Мноства пунктаў будзем называць выбаркай з адрэзка . Суму будзем называць інтэгральнаю сумай для функцыі пры зададзеным падзеле і фіксаванай выбарцы .
def. Лік I называюць вызначаным інтэгралам функцыі на адрэзку і абазначаюць , калі
(1)
Пры гэтым таксама кажуць, што існуе ліміт інтэгральных сумаў пры , і гэты ліміт не залежыць ні ад падзелу , ні ад выбаркі і пішуць
Калі існуе лік , які вызначаецца ўмоваю (1), то функцыю называюць інтэгравальнаю паводле Рымана на адрэзку і пры гэтым кажуць таксама, што існуе інтэграл ад функцыі на адрэзку .
Такім чынам, функцыя ёсць інтэгравальная на адрэзку пры ўмове існавання ліміту інтэгральных сумаў, калі дробнасць падзелу адрэзка імкнецца да нуля, і гэты ліміт не залежыць ні ад падзелу, ні ад выбаркі.
Прыклад 1. Вылічыць
► Паколькі , то , а таму .◄
Вызначаны інітэграл мае просты геаметрычны сэнс. Няхай функцыя ёсць неадмоўная і непарыўная на адрэзку . Тады інтэгральная сума раўняецца плошчы “прыступкавай фігуры” (гл. рысунак). |
|
Фігуру G , абмежаваную адрэзкамі прамых і графікам функцыі , г. зн. , будзем называць крывалінейнаю трапецыяй.
Відавочна, што пры дастаткова дробным падзеле адрэзка “прыступкавая фігура” мала чым адрозніваецца ад крывалінейнай трапецыі, а таму , калі функцыя ёсць інтэгравальная на , то азначае плошчу крывалінейнай трапецыі:
.
Прыклад 2. Вылічыць паводле азначэння .
► Падзелім адрэзак на n роўных (дзеля зручнасці) частак. Маем , а таму , калі . Выбіраючы , возьмем правыя канцы адрэзкаў , г.зн. . Вылічым інтэгральную суму . Адкуль
. (Ці з’яўляецца значэнне гэтага ліміта значэннем адпаведнага інтэграла?)◄
Практыкаванне. Пакажыце, што пры іншай выбарцы , калі ўзяць у якасці левыя канцы адрэзкаў , або іх сярэдзіны, то ліміт інтэгральных сумаў будзе той жа самы.
Тэарэма 1 (неабходная ўмова інтэгравальнасці функцыі). Калі функцыя ёсць інтэгравальная на адрэзку , то яна абмежаваная на гэтым адрэзку.
□ Паколькі ёсць інтэгравальная на то існуе лік I , які адпавядае ўмове (1) , г.зн. пры маем няроўнасць
, (2)
якая праўдзіцца пры кожным падзеле і пры кожнай выбарцы .
Зафіксуем падзел і дапусцім процілеглае, што функцыя неабмежаваная на . Тады функцыя неабмежаваная прынамсі на адным з адрэзкаў падзелу . Не парушаючы агульнасці, будзем лічыць, што неабмежаваная на адрэзку . Зафіксуем пункты і абазначым . Тады і адпаведна няроўнасці (2), маем няроўнасць , якая праўдзіцца . Паколькі , то няроўнасць праўдзівая . Гэта значыць, што функцыя абмежаваная на адрэзку , што супярэчыць дапушчэнню неабмежаванасці на . ■