2.3. Ряды Тейлора Теорема

Любую аналитическую в круге функцию можно единственным образом разложить в этом круге в степенной ряд

=

 ,(28)

коэффициенты которого определяются по формулам

, (29)

где C − произвольная окрестность с центром в , лежащая внутри круга.

Степенной ряд (28) в рассматриваемом круге есть разложение функции по степеням или в окрестности точки . Ряд называется рядом Тейлора для функции .

Следует отметить, что суперпозиция аналитических функций (линейная комбинация, произведение, частное, при условии, что знаменатель дроби не равен нулю) будет аналитической функцией. Производная аналитической функции также является аналитической функцией (для действительных функций это не так).

Ряд Тейлора комплексной функции существует и сходится к самой функции .

Из теоремы следует, что радиус сходимости ряда Тейлора равен расстоянию от точки до ближайшей к ней особой точки функции , где нарушается аналитичность данной функции.

Используя формулы для коэффициентов (29), при получают разложения некоторых элементарных функций в ряд Маклорена.

Основные разложения

(30)

(31)

(32)

. (33)

(34)

(35)

(36)

(37)

(38)

(39)

Задача 25.  Разложить в ряд функцию по степеням .

Решение

Разложение по степеням означает разложение функции в ряд в окрестности точки . Находят коэффициенты разложения по формулам (29) через производные :

;

; ;

;  .

=

.

Ряд сходится для любого .

Задача 26. Разложить в ряд Тейлора дробь по степеням .

Решение

Для разложения функции в ряд можно воспользоваться готовым разложением (39):

Преобразуют знаменатель:

.

Окончательно получают

==.

Ряд сходится при

Задача 27. Разложить в ряд по степеням    функцию

.

Решение

Для упрощения вычислений вводят новую переменную , преобразуют функцию:

.

Используют готовое разложение (36):

=, где .

.

Так как , .

Разложение справедливо при ограничениях или в области .

Задача 28. Разложить в ряд функцию в окрестности точки и определить область сходимости полученного ряда.

Решение

Дано . Ряд раскладывают по степеням , т.е. . Исходную функцию раскладывают на простейшие дроби:

.

Для разложения по степеням вводят замену или и преобразуют дроби под «готовые» разложения по формулам (38) и (39):

,

при условии, что или .

Возвращаются к исходной переменной:

.

область сходимости полученного ряда (формально это круг с центром в точке и радиусом сходимости до ближайшей особой точки).

Задача 29. Разложить в ряд по степеням функции:

1) ;

2) .

Решение

1) Правильную дробь раскладывают на элементарные дроби, предварительно разложив знаменатель на множители:

,

.

Коэффициенты и находят по известному алгоритму из тождества

.

Для разложения по степеням преобразуют каждую элементарную дробь под «готовое» разложение по формуле (39):

при условии ,

т.е. ;

при условии ,

т.е. .

Общий результат:

=+=

=  =

=, где .

2) Дробь раскладывают на элементарные дроби:

.

Неопределенные коэффициенты находят из тождества

.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях  , получают систему уравнений

Решение системы

Полученные элементарные дроби преобразуют для разложения по степеням , используя формулы (39) и (38):

, ;

, где ;

, где .

Для исходной функции окончательно получают

=

, для .

Задача 30. Разложить по степеням функции:

1) ; 2) .

Определить область сходимости полученного ряда.

Решение

Данные функции являются простейшими дробями. Для разложения в ряд можно использовать формулу суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии .

1) ,

где область сходимости или .

2) .

область сходимости или .

Задача 31. Разложить в ряд функцию в окрестности точки и определить область сходимости полученного ряда.

Решение

дробь есть производная другой дроби:

.

Разложение исходной функции можно получить, используя дифференцирование ряда

.

Следует заметить, что, повторяя процедуру дифференцирования, можно получить разложение элементарных дробей вида при любом натуральном .