Системы уравнений

Системы уравнений решаются с помощью такой же функции solve({eq1,eq2,...},{x1,x2,...}), только теперь в параметрах функции следует указывать в первых фигурных скобках через запятую уравнения, а во вторых фигурных скобках перечисляются через запятую переменные, относительно которых требуется решить систему. Если необходимо использовать полученные решения уравнений для дальнейших вычислений, то необходимо результат, возвращаемый функцией solve присвоить какой-нибудь переменной, например, p, а затем выполнить команду assign(p).

Пример:

> p:=solve( {x+y=a,x-y=b}, {x,y} ):

> assign(p);

> x;

a/2+b/2

Численное решение уравнений

Попробуем решить уравнение: x⁶-2x+1=0. Использование функции solve даст нам один корень, равный 1, и еще набор выражений вида RootOf(_Z^5+_Z^4+_Z^3+_Z^2+_Z-1,index = 1). Дело в том, что произвольное уравнение степени выше 4 с рациональными коэффициентами может не иметь корней, выразимых в виде радикалов над рациональными числами. Решения всевозможных таких уравнений называются алгебраическими числами. Данное уравнение также неразрешимо в радикалах, и Maple нашла нам единственный корень, выразимый в радикалах (=1) и сообщила, что оставшиеся корни являются алгебраическими числами: корнями многочлена z⁵+z⁴+z³+z²+z-1=0 (именно этот многочлен указан в аргументе функции RootOf).

Maple умеет работать с алгебраическими числами, но можно также найти приближенное численное решение при помощи функции fsolve:

> fsolve(x^6-2*x+1=0,x);

0.5086603916, 1.000000000

> y:=(x-10000)*(x+9888.9);

> expand(y);

> fsolve(y=0,x);

-9888.900000, 10000.

> fsolve(y=10,x);

-9888.900503, 10000.00050

Иногда Maple при решении трансцендентных уравнений не выводит сложные выражения в виде радикалов, а оставляет их в форме RootOf. Чтобы заставить Maple выводить все решения в виде радикалов (естественно, если они представимы в такой форме), необходимо присвоить значение true системной переменной _EnvExplicit(_EnvExplicit:=true); .

Решение тригонометрических уравнений

Команда solve, применяемая для решения тригонометрических уравнений, находит только главные решения, то есть выводит только одно решение из серии периодических решений:

> solve(sin(2*x)+cos(2*x)=1,x);

Для того, чтобы система Maple находила все решения, необходимо предварительно присвоить значение true системной переменной _EnvAllSolutions. Тогда мы получим результат в другом виде, в котором будут фигурировать переменные Z1~ и Z2~. Эти переменные обозначают произвольную константу целого типа, в более привычном виде решения можно будет записать, как π/4+πn , πk .

Самостоятельные упражнения

1. Вычислить значение (6+2∙5^1/2)^1/2-(6-2∙5^1/2)^1/2.

2. Вычислить sin⁴(π/8)+cos⁴(3π/8)+sin⁴(5π/8)+cos⁴(7π/8).

3. Упростить выражение (1 + sin(2x) + cos(2x))/(1 + sin(2x) - cos(2x)).

4. Разложить на множители многочлен x³-4x²+5x-2.

5. Найти численное решение тригонометрического уравнения cos x = x.

6. Решить уравнение 3x-(18x+1)^1/2+1=0.

7. Решить уравнение ||2x-3|-1|=x.

8. Решить тригонометрическое уравнение (найди все решения !) sin x - cos x=1/sin x.

9. Решить систему алгебраических уравнений: