2. Определитель (детерминант) – многочлен от элементов квадратной матрицы. (обозначается ∆, det a, |a|, )

При добавлении к любой строке (столбцу) линейной комбинации других строк (столбцов) определитель не изменится.

Если две строки (столбца) матрицы совпадают, то её определитель равен нулю.

Если две (или несколько) строки (столбца) матрицы линейно зависимы, то её определитель равен нулю.

Если переставить две строки (столбца) матрицы, то её определитель умножается на (-1).

Общий множитель элементов какого-либо ряда определителя можно вынести за знак определителя.

Если хотя бы одна строка (столбец) матрицы нулевая, то определитель равен нулю.

Сумма произведений всех элементов любой строки на их алгебраические дополнения равна определителю.

3. (Практика) 2х2, 3х3, 4х4

4. Обратная матрица A^-1= 1/|A|*A^Т˳

A˳ = Матрица миноров * на матрицу знаков

Матрица миноров – посредством нахождения каждого определителя.

Для проверки A* A^-1 = E

5. В том случае, если определитель матрицы равен нулю – обратной матрицы не существует.

6. (практика) Ранг матрицы - максимальное число линейно независимых строк (столбцов). Несколько строк (столбцов) называются линейно независимыми, если ни одна из них не выражается линейно через другие. Ранг системы строк всегда равен рангу системы столбцов, и это число называется рангом матрицы.

Ранг матрицы — наивысший из порядков миноров этой матрицы, отличных от нуля.

Если ранг матрицы равен r, то любые m:n > r строк или столбцов этой матрицы будут линейно зависимы.

Если A — квадратная матрица, определитель которой = 0 , то строки и столбцы этой матрицы линейно зависимы.

Пусть ранг матрицы = r, тогда максимальное количество линейно независимых строк (столбцов) этой матрицы равно r.

Найти можно по «Методу окаймляющих миноров» или с помощью «элементарных преобразований».

СЛАУ

7. Система линейных алгебраических уравнений - это система уравнений вида, где

X1, x2, …, xn — неизвестные, которые надо определить. A11, a12, …, amn — коэффициенты системы — и b1, b2, … bm — свободные члены — предполагаются известными.

Система является…

однородной, если все её свободные члены равны нулю (b₁ = b₂ = … = b_m = 0), иначе — неоднородной.

квадратной, если m=n

совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если у неё нет ни одного решения.

определённой, если она имеет единственное решение; если же у неё есть хотя бы два различных решения, то она называется неопределённой.

Решение системы - совокупность чисел c₁, c₂, …, c_n, таких что подстановка каждого в систему обращает все её уравнения в тождества.

Совместная система может иметь одно или более решений.

8. СЛАУ совместна тогда и только тогда, когда ранг её основной матрицы равен рангу её расширенной матрицы.

Система имеет единственное решение, если ранг равен числу неизвестных, и бесконечное множество решений, если ранг меньше числа неизвестных. (это и есть теорема Кронекера-Капелли)

9. ???НЕ УВЕРЕН, ЧТО ИМЕННО ЭТО ИМЕЛОСЬ В ВИДУ??? Решать можно школьным методом (выражение одной переменной через другую и подстановка в выражение), сложением и вычитанием строк, матричным методом (см. вопрос 10), с помощью теоремы Крамера (см. вопрос 11) или Гаусса (см. вопрос 12).

10. (практика)Матричный метод – решение с помощью обратной матрицы (A^-1) Подходит только для невырожденных (det≠0).

AX = B, значит Х=В/А=В* A^-1 (как найти A^-1 смотри 4-й вопрос)

11. (практика) Метод Крамера (det≠0)

1. Записываем коэффициенты при Х в виде матрицы.

2. Рассчитываем det матрицы.

3. Заменяем 1-ю (потом 2-ю и 3-ю строку) на столбец свободных членов,

рассчитываем их det-ты.

4. Находим иксы по формуле:

12.(практика) Метод Гаусса

1. Записываем уравнения в расширенную матрицу

2. Элементарные преобразования (перестановка строк (столбцов), складывание вычитание строк (столбцов))

3. Главная цель – привести к ступенчатому виду (под диагональю 0-ли)

4. Подстановка в нижнее уравнение Х и решение снизу-вверх.

13. Система называется однородной, если все её свободные члены равны нулю (b₁ = b₂ = … = b_m = 0) (рисунок к 10-му вопросу). Имеет ненулевое решение, когда ранг её матрицы коэффициентов при переменных меньше числа переменных, т.е. при rang A˂ n.

14. (практика) Метод: 1. Записать в виде матрицы, отдельно Х, отдельно коэффициенты, отдельно свободные члены (0-ли) 2. Привести к ступенчатому виду (элементарные преобразования).

3. Найти ранг системы и кол-во решений(n-rang). N – кол-во переменных.

4. Переписать в виде уравнений и выразить из них любую переменную.

5. Подставить 1-цу в переменную, найти остальные. Записать в табличку.

6. Ответ записать в виде вектора.

ВЕКТОРЫ

15. N-мерным вектором называется последовательность чисел. Эти числа называются координатами вектора. Число координат вектора n называется размерностью вектора.

Вектор записывается в виде строки или столбца:

Существуют: нулевой вектор (все цифры = 0), единичные векторы специального вида (одно из чисел единица). Векторы можно: умножать на число, складывать, перемножать, находить модуль вектора. При сложении, умножении – можно менять местами, выносить за скобки.

Сложение:

Перемножение:

Умножение на число: λA=(λ*a₁, λ*a₂,..., λ*a_n)

Модуль вектора: . (То есть записать так вектор и перемножить его по свойству, получится число)

16. Арифметическое n- мерное векторное пространство - это множество всех арифметических n-мерных векторов, а также их суммы и произведения на числа. Обозначается «V».

Аксиомы:

1)сумма любых двух элементов из V и произведение скаляра и произвольного элемента из V являются некоторыми элементами из V. (выводится из определения векторного пространства (см. вверх)).

2)сложение любых трёх элементов из V подчиняется сочетательному закону (или как ещё говорят - векторное сложение ассоциативно): .

3)сложение любых двух элементов из V подчиняется переместительному закону (векторное сложение коммутативно):

4)существует такой элемент из V (нулевой вектор), что для любого верно

5)для любого элемента из V существует такой элемент из V, сумма которого с исходным элементом равна

6) (обратить внимание – вектор ТОЛЬКО СО СТРЕЛКОЙ, остальные – числа)

7)

8)

9)

17. Длина = модулю вектора (см. 15 вопрос, в конце). Скалярное произведение (см. 15 вопрос). Ортогональность(перпендикулярность): Если выполняется – перпендикулярны.

18. Система векторов A₁, A₂,...,A_n называется линейно зависимой, если существует ненулевой набор чисел λ₁, λ₂,...,λ_n, при котором линейная комбинация векторов λ₁*A₁+λ₂*A₂+...+λ_n*A_n равна нулевому вектору. Условие: все λ≠0. Если λ=0, то система линейно независима. ???ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ УСЛОВИЯ НЕ НАШЕЛ???