- •Федеральное агентство связи
- •Московский технический университет связи и информатики
- •Конспект лекций по обыкновенным дифференциальным уравнениям. Ч.3.
- •1. Понятие об устойчивости решений дифференциальных уравнений.
- •1.1. Простейшие типы точек покоя.
- •1.2. Замечания по поводу классификации точек покоя.
- •1.3. Однородная система линейных уравнений с постоянными коэффициентами.
- •2. Теоремы Ляпунова об устойчивости.
- •3. Исследование на устойчивость по первому приближению.
- •4. Дифференциальные уравнения с частными производными первого порядка
- •4.1. Первые интегралы систем дифференциальных уравнений
- •4.2. Характеристики
- •5. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных первого порядка с независимыми переменными.
- •6. Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка.
- •Конспект лекций по обыкновенным дифференциальным уравнениям. Ч.3.
4. Дифференциальные уравнения с частными производными первого порядка
Наиболее общее уравнение с частными производными I порядка с независимыми переменными может быть записано в виде
, (1)
где – заданная функция, - искомая функция, – независимые переменные.
Пример 1.
.
Интегрируя, имеем
,
где - произвольная функция от .
Пример 2.
.
Интегрируя по , получим
,
где - произвольная функция . Интегрируем теперь по :
,
где - произвольная функция от . Окончательно имеем:
,
где
-
произвольная функция.
Из приведенных примеров видно, что общее решение дифференциального уравнения с частными производными I порядка зависит от одной произвольной функции, общее решение уравнения II порядка – от двух произвольных функций.
Линейным неоднородным уравнением или квазилинейным уравнением I порядка в частных производных называется уравнение вида:
. (2)
Это уравнение линейно относительно производных, но может быть нелинейным относительно неизвестной функции .
Если , а коэффициенты не зависят от , то уравнение (2) называется линейным однородным.
Рассмотрим вначале квазилинейное уравнение с двумя независимыми переменными
, (3)
где непрерывны в некоторой области изменения переменных и не обращаются в нуль одновременно.
Рассмотрим непрерывное векторное поле
.
Векторные линии этого поля (т.е. линии, касательные к которым в каждой точке имеют направление, совпадающее с направлением вектора в той же точке) определяются из условия коллинеарности вектора , направленного по касательной к искомым линиям, и вектора поля :
. (4)
Это система дифференциальных уравнений векторных линий.
Поверхности, составленные из векторных линий, точнее, поверхности целиком содержащие векторные линии, имеющие хотя бы одну общую точку с поверхностью, называются векторными поверхностями.
Очевидно, векторные поверхности можно получить, рассматривая множество точек, лежащих на произвольно выбранном непрерывно зависящем от параметра однопараметрическом семействе векторных линий. Векторная поверхность характеризуется тем, что вектор , направленный по нормали к поверхности в любой ее точке, ортогонален вектору поля :
(5)
Если векторная поверхность задана уравнением , то вектор
,
и условие (5) принимает вид:
. (3)
Если же векторная поверхность задана уравнением (неявно), т.е.
,
то условие (5) имеет следующий вид:
. (6)
Следовательно, для нахождения векторных поверхностей надо проинтегрировать квазилинейное уравнение (3) или линейное однородное уравнение (6) в зависимости от того, ищем ли мы уравнение искомых векторных поверхностей в явном или неявном виде.
Т.к. векторные поверхности могут быть составлены из векторных линий, то интегрирование уравнений (3) или (6) сводится к интегрированию системы обыкновенных дифференциальных уравнений векторных линий (4).
4.1. Первые интегралы систем дифференциальных уравнений
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений
. (7)
Интегрируемой комбинацией называется дифференциальное уравнение, являющееся следствием системы (7), но уже легко интегрирующееся, например, являющееся уравнением вида
)
или уравнением, которое может быть сведено путем замены переменных к какому-нибудь интегрируемому типу уравнений с одной неизвестной функцией.
Пример 3.
.
Складывая обе части равенств, найдем интегрируемую комбинацию
,
т.е.
,
откуда
.
Вычитая, найдем вторую интегрируемую комбинацию
,
откуда
.
Итак,
, .
Следовательно,
.
Одна интегрируемая комбинация дает возможность получить одно соотношение
,
связывающее неизвестные функции и независимую переменную; такое соотношение называется первым интегралом системы (7).
Итак, первым интегралом
(8)
системы уравнений (7) называется соотношение, не равное тождественно постоянной, содержащее в левой части независимую переменную и искомые функции и принимающее постоянное значение, если вместо искомых функций подставить какое-нибудь решение системы (7).
Геометрически первый интеграл (8) при фиксированном можно интерпретировать как -мерную поверхность в -мерном пространстве с координатами , обладающую тем свойством, что каждая интегральная кривая, имеющая общую точку с этой поверхностью, целиком лежит на поверхности.
При переменном получаем семейство непересекающихся поверхностей, состоящих из точек некоторого - параметрического семейства интегральных кривых системы (7).
Если найдено интегрируемых комбинаций, то получаем первых интегралов
(9)
Если все эти интегралы независимы, то есть если хотя бы один из определителей
,
где какие-нибудь функций из , не равен нулю, то из системы (9) можно выразить неизвестных функций через остальные и, подставив в систему (7), понизить ее размер. Если и все интегралы независимы, то все неизвестные функции определяются из (9).
Пример 4.
где . Умножив первое уравнение на , второе – на , третье – на и складывая, получим
,
т.е. имеем I- й интеграл:
.
Умножим первое уравнение на , второе – на , третье – на и складывая, имеем
.
Откуда получаем следующий I- й интеграл:
.
За исключением случая , когда система интегрируется непосредственно, найденные первые интегралы независимы и, следовательно, можно исключить две неизвестные функции, а для нахождения третьей получим одно уравнение с разделяющимися переменными.
Для нахождения интегрируемых комбинаций часто удобно переходить к так называемой симметричной форме записи системы уравнений (7):
, (10)
где
=.