- •Тема: «Прямые и итерационные методы решения систем линейных уравнений»
- •Метод главных элементов
- •Задание Разработать программное средство для решения систем линейных уравнений (методы решения определяет преподаватель).
- •Тема: «Вычисление определенных интегралов»
- •Тема: «Вычисление определенных интегралов»
- •230104 – «Системы автоматизированного проектирования»,
- •230202 – «Информационные технологии в образовании»
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
Тема: «Вычисление определенных интегралов»
Цель работы: изучение методов вычисления определенных интегралов, оценка точности этих методов. Получение практических навыков программной реализации методов вычисления определенных интегралов.
Технические средства: IBM PS AT.
Программное средство: Visual Studio или Delphi
Теоретические сведения
Постановка задачи. Пусть некоторый конечный интервал [а, b] на оси Ох разбит на n подынтервалов [хi, хi+1], которые в дальнейшем будем называть элементарными отрезками. Ясно, что без ограничения общности можно положить х0 = а; хn= b и х0 < <х1 < ... <хn. Через hi обозначим длину элементарного отрезка (хi+1 - хi). Если заданный отрезок [а, b] разбит равномерно, то тогда hi будет постоянна для любой [а, b]. Пусть теперь на [а, b] определена некоторая функция f(х). Предположим, что необходимо найти приближение к определенному интегралу, которое обозначим . Очевидно также, что если f(х) непрерывна [а, b], то тогда можно представить как , где - интеграл функции f(х) на элементарном отрезке [хi+1, хi], т.е.:
.
Bсякая простая формула, аппроксимирующая отдельный интеграл, назывaется квадратурной. Составная квадратурная формула - это формула, дающая приближение интеграла в виде суммы приближений интегралами по данной квадратурной формуле.
Двумя простейшими квадратурными формулами являются формулы прямоугольников и трапеций, которые в ряде случаев оказываются наиболее эффективными.
Известны три разновидности формул прямоугольников: это формулы левых, правых и средних прямоугольников. Все они основаны на аппроксимации каждого интеграла площадью прямоугольника, одной из сторон которого является hi , а второй - либо значение функции на левом конце отрезка (рис.2, а), либо значение функции на правом конце отрезка (рис. 2, б), либо значение функции в средней точке отрезка (рис. 2, в).
Квадратурные формулы, аппроксимирующие , будут иметь вид:
левых прямоугольников: = hi f (хi);
правых прямоугольников: = hi f (хi+1);
средних прямоугольников: = hi f (хi+1/2).
С учетом представления на элементарном отрезке составные квадpатурные формулы прямоугольников могут быть записаны так:
левых прямоугольников
; (3.1)
правых прямоугольников
; (3.2)
средних прямоугольников
. (3.3)
В формуле трапеций используются значения функции в концевых точках элементарных отрезков. В этом случае аппроксимируется площадью трапеции с основаниями f(хi) и f(хi+1) и высотой x (рис. 3).
Тогда площадь
фигуры мо
Si = (fi + fi+1) hi /2.
Если теперь просуммируем последнюю формулу по всем элементарным отрезкам, то получим с учетом выполненных элементарных преобразований следующее выражение:
Заметим, что при бесконечном уменьшении длин элементарных отрезков формулы обоих типов (прямоугольников и трапеций) сходятся к точному значению интеграла. Однако не ясно, как быстро они сходятся ? Попытаемся выяснить данный вопрос, воспользовавшись разложением функции в ряд Тейлора относительно центра элементарного отрезка [хi, хi+1]
f(x) = f(yi) + (x – yi) f ’(yi) + (x – yi)2 f ’’(yi)/2 +
+ (x – yi)3 f’’’(yi)/6 + (x-yi)4 f (IV)(yi)/24 + …
затем, проинтегрировав полученный ряд по каждому из отрезков в предположении, что оставшиеся члены ряда намного меньше выписанных, с учетом значений коэффициентов ряда Тейлора на элементарном отрезке
получим
Член
показывает ошибку формулы
прямоугольников без учета
членов более высокого поряд
Можно видеть, что
ошибки формул средних прямоугольников
и трапеций одного поряд
Формальные
параметры процедуры вычисления интеграла
методами прямоугольников и трапеций.
Входные: Х0, Х1 (тип real)
– границы отрез
Метод Симпсона
часто называют в литературе методом
парабол. Очевидно, что точность
вычислений приближенного
интеграла возрастет по сравнению
с точностью вычислений,
выполненных по формулами трапеций и
прямоугольников,
Разобьем равномерно отрезок [а, b] на N элементарных отрезков [хi,хi+1] и на каждом из них заменим подынтегральную функцию f(х) интерполяционным многочленом Ньютона (или Лагранжа, в принципе, без разницы!) второй степени. Тогда для каждого элементарного отрезка [хi,хi+1] имеем следующее:
Просуммируем полученное выражение по всем элементарным отрезкам, и если подставим h = =(b - а) / n, то окончательно получим
(3.4)
Данное выражение называется формулой Симсона. Онo относится к формулам повышенной точности и является точной для многочленов второй и третьей степени . Погрешность формулы Симсона оценивается по формуле Тейлора и имеет вид
Интегрирование квадратурными формулами Ньютона - Котеса и методом "три восьмых".
Пусть некоторая функция f(х), как и раньше, задана в виде таблицы значений yi = f(хi) в узлах интерполяции хi = =х0 + ih на отрезке [а, b]. Требуется найти значения интеграла на указанном отрезке.
По заданным значениям подынтегральной функции yi = =f(хi) построим интерполяционный полином Лагранжа
,
который для равноотстоящих узлов примет вид
,
где q = (х - х0) / h.
Теперь заменим подынтегральную функцию f(х) построенным полиномом, считая, что узлы интерполяции расположены равномерно:
Проведя необходимые элементарные преобразования, выполнив замену переменных dq = dx/n и сменив в соответствии с подстановкой пределы интегрирования, получим
Здесь h - шаг, который для равноотстоящих узлов интерполяции определяется как h = (b - а)/n. Подставив значения h в последнюю формулу, окончательно получим
,
где
;
Нi - коэффициенты Ньютона - Котеса. Они не зависят от значений функции f(х) и являются функциями только количества узлов, на которые разбит отрезок [а, b]. Поэтому Нi обычно вычисляют заранее:
N = 1: Н0 = Н1 = 1/2;
N = 2: Н0 = Н2 = 1/6; Н1 = 2/3;
N = 3: H0 = H3 = 1/8; H1 = H2 = 3/8;
N = 4: H0 = H4 = 7/90; H1 = H3 = 16/45; H2 = 2/13;
N = 5: H0 = H5 = 19/288; H1 = H4 = 25/96; H2 = H3 = 25/144.
Этот список при необходимости можно продолжить. Но если теперь рассмотреть частные случаи формулы Ньютона - Котеса, то:
-
при n = 1 получаем формулу трапеций:
;
-
при n = 2 получаем формулу Симсона:
;
-
при n = 3 получаем формулу "трех восьмых":
.
Погрешность последней формулы оценивается соотношением
R = -(3/80) h5 y(IV)() для всех a, b \ xi .
Достроим таблицу коэффициентов до n = 7:
N = 6: H0 = H6 = 41/840; H1 = H5 = 9/35;
H2 = H4 = 9/280, Н5 = 34/105;
N = 7: H0 = H7 = 751/17280; H1 = H6 = 3577/17280;
H2 = H5 = 1323/17280; Н3 = Н4 = 2989/17280.
Задание
Написать программу для вычисления интегралов (методы задаются преподавателем).
Варианты
1. 2. 3.
4. 5. 6.
7. 8. 9.
10.
Требования к программе
-
Программа должна быть написана в среде Visual Studio или Delphi.
-
В программе должно быть предусмотрено следующее:
ввод исходных данных и вывод результата в удобной для пользователя форме;
возможность пошагового просмотра решения задачи;
справка с комментариями по работе с программой;
корректировка исходных данных;
сохранение исходных данных и результата в файле.
Порядок выполнения работы
-
Получить задание у преподавателя.
-
Разработать алгоритм решения задачи.
-
Реализовать полученный алгоритм.
-
Проанализировать результаты работы алгоритма.
-
Оформить отчет по лабораторной работе.
Содержание отчета
-
Номер и тема лабораторной работы.
-
Цель выполнения работы.
-
Описание алгоритма.
-
Руководство пользователю.
-
Пример работы программы.
-
Анализ полученных результатов и вывод по работе.
-
Текст программы с комментариями привести в приложении.
Лабораторная работа № 4