Metod 2

МОСКОВСКИЙ АВИАЦИОННЫЙ ИНСТИТУТ (национальный исследовательский университет)

Битюков Ю.И.

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ Методические указания к выполнению лабораторных работ в среде MathCad для студентов, обучающихся по специальности

«Cистемы управления летательными аппаратами»

Москва Издательство МАИ

2012

Численные методы решения уравнений и систем: Методические указания к выполнению лабораторных работ в среде MathCad для студентов, обучающихся по специальности «Cистемы управления летательными аппаратами» / Битюков Ю.И. – М.: Издательство МАИ, 2012.

Приводится описание лабораторных работ, выполняемых в среде MathCad. Рассматривается применение z-преобразования к решению разностных уравнений и систем уравнений. Кроме того, рассмотрены численные методы решения алгебраических уравнений и систем.

Предназначено для студентов факультета «Системы управления информатики и электроэнергетики».

Рецензенты:

доц. каф. Молекулярной физики Физического факультета МГУ, к.ф.м.н. Иванов И.Э.

Кафедра «Аэродинамика, конструкция и прочность Летательных аппаратов» МГТУГА

© Московский авиационный институт, 2012

- 2 -

ПРЕДИСЛОВИЕ

Настоящее пособие содержит общие теоретические сведения по z – преобразованию, которое называется также преобразованием Лорана и применению его к решению разностных уравнений и систем уравнений. Изложению этих теоретических сведений посвящена первая глава. Во второй главе формулируются варианты домашнего вычислительного задания, приводятся примеры решения разностных уравнений и систем, а также рассматриваются примеры решения этих уравнений в среде MathCad. Третья глава посвящена описанию численных методов решения алгебраических уравнений с одним неизвестным. В четвертой главе приводятся некоторые методы численного решения систем алгебраических уравнений.

- 3 -

ГЛАВА 1. Z – ПРЕОБРАЗОВАНИЕ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ

В этой главе дается понятие z – преобразования, которое называется также преобразованием Лорана, и рассматриваются его свойства.

1.1. Преобразование Лорана и его свойства
Пусть задана последовательность fn, n 0,1,... комплексных				чисел,
удовлетворяющая условию:
	fn		M kn , для некоторых чисел M,k R.	(1.1)

Такую последовательность будем называть последовательностьюоригиналом.

Изображением по Лорану (z-преобразованием), соответствующим оригиналу fn , называется функция комплексного переменного

F z fn z n .	(1.2)

n 0

Соответствие между оригиналом и изображением будем обозначать знаком. При выполнении условия (1.1) последовательности соответствует функция F z аналитическая во внешности круга z R, R k. Обратно, каждая такая функция однозначно определяет последовательность fn , которую можно найти одним из следующих способов.

1.Так как правую часть (1.2) можно рассматривать как ряд Лорана функции F z , то по формуле для коэффициентов ряда Лорана, находим

1

r,

F z z

n 1

fn

z

dz.

(1.3)

2 i

r

R

представляет собой ряд Тейлора функции F z 1 , то

2.

Так как ряд fn zn

n 0

согласно формуле для коэффициентов ряда Тейлора, находим

1

n

fn

d

F z 1

.

n

n!dz

z 0

3.

Согласно основной теореме теории вычетов, из формулы (1.3) следует

fn

resF z zn 1 ,

zj

zj

где сумма распространяется на все особые точки функции F z zn 1.

При применении z-преобразования, важно знать, какие операции над изображениями соответствую определенным действиям над последователь- ностями-оригиналами и наоборот.

Теорема 1.1 (теорема линейности). Пусть fn, gn - оригиналы, а F z , G z

- их изображения. Тогда

- 4 -

fn gn F z G z .

Теорема 1.2 (теорема опережения). Если fn F z , то

fk n zk		k 1		f0zk	f1zk 1	... fk 1z,		k 1,2,...
	F z fmz m		zkF z
		m 0
Доказательство. По определению z-преобразования, имеем
						k 1
	fk n fk nz n		fm z m k zk
					F z fmz m		.
Теорема доказана.		n 0	m k			m 0
					- оригиналы, а F z , G z - их
Теорема 1.3 (теорема о свертке). Если				fn, gn

изображения, то

n

fkgn k F z G z .

k 0

Доказательство. Перемножая F z и G z , получаем

n

n

F z G z fnz n gnz n fkz kgn k z (n k)

n 0

n 0

n 0 k 0

z n fk gn k . k 0 k 0

Теорема доказана.

Теорема 1.4 (дифференцирование изображения). Пусть fn F z . Тогда

d

nfn z dz F z .

В следующей таблице приведены некоторые последовательностиоригиналы и их изображения.

								Таблица 1.1. Соответствия при z-преобразовании
№				F z							fn
1					z						1
					z 1
2					z						1 n
					z 1
3					z						e n
				z e
4			azsin								an sin n
		z2 2azcos a2
Пример.	Найти				z-преобразование						последовательности-оригинала

fn cos n .

Решение. По формуле Эйлера имеем

z

z cos

f

1

ei n

1

e i n

1

z

1

z

.

n

2 z ei

2 z e i

2

2

z2 2zcos 1

- 5 -

1.2. Решение линейных разностных уравнений с постоянными коэффициентами и систем уравнений с помощью z - преобразования

Линейным разностным уравнением с постоянными коэффициентами

называется уравнение вида
ck xn k ck 1xn k 1 ... c0xn fn,	c0 0,	ck 0.	(1.4)
Число k называется порядком уравнения.

Для того чтобы решение уравнения получалось вполне определенным, должны быть заданы начальные условия x0,x1,...,xk 1. В этом случае, полагая

в уравнении (1.4) n 0,	мы сможем найти xk . Затем, полагая в уравнении
n 1, мы сможем найти	xk 1 и т.д. Следовательно, все значения xn могут

быть вычислены последовательно. Поэтому уравнение (1.4) называют еще рекуррентным уравнением. Мы пойдем по другому пути – получим для xn общую формулу. Проще всего это сделать при помощи z – преобразования.

Обозначим X z преобразование Лорана решения xn уравнения (1.4), а

F z - преобразование Лорана последовательности		fn . Из теоремы опереже-
ния следует	zr X z x0zr x1zr 1 ... xr 1z,
xr n		r 0,1,...,k .

Поэтому разностное уравнение (1.4) после z – преобразования переходит в изображающее уравнение

ck zk X z x0zk x1zk 1 ... xk 1z ... c1 zX z x0z c0X z F z .

Из полученного уравнения находим

X z	F z x0	ck zk ck 1zk 1 ... c1z x1 ck zk 1 ck 1zk 2 ... c2z ... xk 1ckz
						.
		c zk c	k 1	zk 1 ... c z c	0
		k		1
Оригинал		xn , соответствующий		полученному изображению X z , бу-

дет удовлетворять уравнению (1.4) и заданным начальным условиям. Сам оригинал можно искать в виде

xn resX z zn 1 ,

zj zj

где сумма распространяется на все особые точки функции X z .

Пример. Найти решение уравнение

xn 2 xn 1 2xn 1,

удовлетворяющее начальным условиям

x0 2, x1 1.

Решение. Используя теореме опережения и таблицу 1.1, находим изображающее уравнение

z2X 2z2 z zX 2z 2X z . z 1

Решая его относительно X , получаем

- 6 -

X z	z z 1 2z2 3z
			.
	z 1 2
		z 2

Особыми точками полученной функции являются z 1 - полюс второго порядка и z 2 - полюс первого порядка. Следовательно,

n 2

n 1

n

d

2z

z

2z

3n 14

res X z zn 1

lim

X z z 1 2

zn 1

.

z 2

1

z 1 dz

9

res X z zn 1

lim X z z 2 zn 1

1 n

2n 2

.

z 1

2

z 2

9

Итак, решение уравнения имеет вид

xn 1 n 2n 2 3n 14 . 9

Рассмотрим теперь решение систем линейных разностных уравнений с постоянными коэффициентами. Заметим, что последовательность – оригинал представляет собой функцию целочисленного аргумента, для которой x n xn . Такое обозначение даст возможность не использовать двойные ин-

дексы.

Система линейных разностных уравнений с постоянными коэффициентами может быть записана в виде:

x1 n 1 a11x1 n a12x2 n ... a1k xk n f1 n ,

x	2	n 1 a21x1 n a22x2	n ... a2k xk n f2	n ,
				(1.5)
................
		n 1 ak1x1 n ak2x2	n ... akk xk n fk	n .
xk

Начальные условия для определения решения данной системы запишем в ви-

де: x1 0 x10, x2 0 x20,...,xk 0 xk0 .

Применим операционный метод к решению этой системы. Пусть x1 n X1 z ,...,xk n Xk z ;

f1 n F1 z ,..., fk n Fk z .

Используя теорему опережения и начальные условия, находим xj n 1 z X j z x0j z, j 1,2,...,k.

Таким образом, применяя z-преобразование к системе (1.5), получаем систему линейных неоднородных уравнений относительно неизвестных

X1 z ,...,Xk z .

a11 z X1 n a12 X2 n ... a1k Xk n F1 n zx10,a21X1 n a22 z X2 n ... a2k Xk n F2 n zx20,

................

ak1X1 n ak2X2 n ... akk z Xk n Fk n zxk0.

- 7 -

Решив эту систему и найдя оригиналы для X1 z ,...,Xk z , получим решение

систему (1.5).

Пример. Решить систему разностных уравнений:

x

3x

2y

n

1,

n 1

n

n

;

yn 1 2xn yn 1

x0 1,

y0 2.

Решение. Переходя к изображениям по Лорану, получаем

z

zX z 3X 2Y

,

z 1

z

zY 2z 2X Y

.

z 1

Полученную систему перепишем в виде

2

z

z 3 X 2Y

,

z 1

2z2

3z

2X z 1 Y

.

z 1

Решая систему по правилу Крамера, находим

X z

z z3 2z2 z 6

; Y z

z 2z3 3z2 4z 9

.

z 1 z 1 3

z 1 z 1 3

Особыми точками полученных функций являются z 1 - полюс первого порядка и z 1 - полюс третьего порядка. Поэтому

xn resX z zn 1

resX z zn 1

lim

zn z3 2z2 z 6

z 1

3

1

1

z 1

1

d2

zn z3 2z2 z 6

1 n 1

2

3

lim

n

3n

;

z 1

2

2 z 1 dz2

2

yn 1 n 1 3 4n n2 .

Заметим, что линейное разностное уравнение можно свести к системе линейных разностных уравнений. Действительно, пусть дано уравнение (1.4).

Обозначим

x1 n xn,

x2 n xn 1,...,xk n xn k 1 .

Очевидно, что

x1 n 1 x2 n , x2 n 1 x3 n ,...,xk 1 n 1 xk n .

Из уравнения (1.4) следует, что

f n

x

n 1

c0

x n

c1

x

n ...

ck 1

x

n

.

c

c

k

c

k

1

2

k

c

k

k

k

Мы, таким образом, приходим к системе

- 8 -

x1 n 1 x2 n ,
	n 1 x3 n ,
x2
	...
xk 1 n 1 xk n ,								ck 1		f n
		c0			c1
xk	n 1 c x1			n c		k	x2 n ...	c	xk n	c	.
		k						k		k

ГЛАВА 2. ВЫПОЛНЕНИЕ ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЫ ПО Z - ПРЕОБРА-

ЗОВАНИЮ В СРЕДЕ MATHCAD

Цель выполнения лабораторной работы состоит в том, чтобы познакомить студента с применением z-преобразования к решению линейных разностных уравнений с постоянными коэффициентами и систем. Кроме этого, показать некоторые приемы использования среды MathCad в решении в символьном виде, возникающих в этих задачах систем линейных уравнений, а также преобразовании выражений.

2.1. Решение линейных разностных уравнений с постоянными коэффициентами с использованием среды MathCad

Эта часть работы выполняется в два этапа. Первый этап выполняется дома, а второй в дисплейном классе.

Этап 1. По данному линейному разностному уравнению с постоянными коэффициентами составить преобразование Лорана X z последовательности

– оригинала xn . Определить особые точки функции X z и классифициро-

вать их.

Этап 2. Выполняется в дисплейном классе. По найденному на первом этапе преобразованию Лорана последовательности xn находим саму последова-

тельность, вычисляя вычеты функции X z zn 1 в особых точках с использо-

ванием MathCad. Далее выполняем проверку, преобразуя получаемые выражения с использованием MathCad.

Рассмотрим пример выполнения первой части первой лабораторной работы.

Лабораторная работа 1. Часть 1. Решить разностное уравнение с постоянными коэффициентами с использованием z-преобразования:

xn 4 5xn 3 6xn 2 4xn 1 8 xn n2 ; x0 1; x1 1; x2 2; x3 3.

- 9 -

Порядок выполнения.

Найдем

сначала изображение F z оригинала

f n n2 . Согласно таблице 1, имеем 1

z

. Следовательно, по теореме о

z 1

дифференцировании изображения, получаем:

n z

d

z

z

2

d

z

z 1

; n

z

z

2

2

3

dz z 1

z 1

dz

z 1

z 1

Применяя z-преобразование к данному уравнению и используя теорему опережения, находим:

z4 X z z4 z3 2z2 3z 5 z3X z z3 z2 2z

6 z2X z z2 z 4 zX z z 8X z z	z 1		.
	z 1	3

Отсюда получаем изображение:

	X z	z z 1 z 1 3 z4 6z3 13z2 15z	.
		z4 5z3 6z2 4z 8 z 1 3

Дальнейшее выполнение работы осуществляем с использованием среды MathCad. Во-первых, необходимо получить разложение знаменателя на множители. Осуществляется это действие с помощью команды меню Symbolics → Factor (разложить многочлен можно и без использования MathCad). В результате изображение мы представим в следующем виде:

	X z	z z 1 z 1 3 z4 6z3 13z2 15z		.
		z 2 3	z 1 4

Как легко видеть, особыми точками данной функции будут z 2 - полюс третьего порядка и z 1 - полюс четвертого порядка. Используя теорему о нахождении вычета функции в полюсе, получаем

xn	1	lim	d3	X(z) z 1 4 zn 1		1	lim	d2	X(z) z 2 3 zn 1	.
			3					2
	3! z 1 dz					2! z 1 dz

Указанные пределы находим с использованием MathCad. Для проверки получаем последовательность-оригинал с помощью встроенного в MathCad метода обращения z-преобразования. Для этого нажатием клавиш

[Ctrl]+[Shift]+[.] создаем поле ввода (▪▪→) и набираем в нем X(z) invztrans, z.

Ниже приведен документ MathCad, в котором реализовано выполнение первой лабораторной работы. Ответом к данной работе будет найденная последовательность оригинал:

xn		n		943		n2		n3		214	2 n		319	n 2 n		17	n2 2 n .
	18		729		18		81		729			486			81

Подставляя xn в уравнение и используя команду Symbolics → Expand, убеждаемся в правильности найденного решения.

- 10 -