3.53 Полряні координта точки.

Положення точки у полярній системі координат візначається двома значеннями: довжиною радіус-вектора «ро», да кутом повороту «тетта» .

3.54. Зв'язок між полярними і декартовими координатами.

Пару полярних координат r та φ можна перевести в Декартові координати x та y шляхом застосування тригонометричних фукнцій синуса та косинуса:

в той час як дві Декартові координати x та y можуть бути переведені в полярну координату r:

(за теоремою Піфагора).Для визначення кутової координати φ, слід взяти до уваги два такі міркування:

Для r = 0, φ може бути довільним дійсним числом.

Для r ≠ 0, аби отримати унікальне значення φ, слід обмежитись інтервалом в 2π. Зазвичай, обирають інтервал [0, 2π) або (−π, π].

3.55. Рівняння кривих в полярних координатах. Побудова кривих, що задані рівняннями в полярних координатах

Завдяки радіальній природі полярної системи координат, деякі криві можуть бути досить просто описані полярним рівнянням, тоді як рівняння в декартовій системі координат були б набагато складнішими. Серед найвідоміших кривих можна назвати полярну розу, спіраль Архімеда, лемніскату, равлик Паскаля та кардіоїду.

Коло задане рівнянням r(φ) = 1

Загальне рівняння кола з центром в (r0,θ) та радіусом має вигляд:

Це рівняння може бути спрощене для окремих випадків, наприклад є рівнянням, що визначає коло з центром в полюсі та радіусом a.

Полярна роза — відома математична крива, схожа на квітку з пелюстками. Вона може бути визначена простим рівнянням в полярних координатах: для довільної сталої θ0 (включно з 0). Якщо k — ціле число, то це рівняння визначатиме розу з k пелюстками для непарних k, або з 2k пелюстками для парних k. Якщо k — раціональне, але не ціле, графік заданий рівнянням утворить фігуру подібну до рози, але пелюстки будуть перекриватись. Рози з 2, 6, 10, 14 і т. д. пелюстками цим рівнянням визначити неможливо. Змінна a визначає довжину пелюсток.

Відома спіраль Архімеда названа на честь її винахідника, давногрецького математика Архімеда. Цю спіраль можна визначити за допомогою простого полярного рівняння: Зміни параметру a призводять до повороту спіралі, а параметру b — відстані між витками, яка є константою для конкретної спіралі. Спріаль Архімеда має дві гілки, одну для φ > 0 а іншу для φ < 0. Дві гілки плавно сполучаються в полюсі. Дзеркальне відображення однієї гілки відносно прямої що проходить через кут 90°/270° дасть іншу гілку.

3.56 Параметричне задання лінії

Інколи буває зручно користуватись рівняннями лінії, де поточні декартові координати х та у виражені в залежності від деякої допоміжної змінної величини, наприклад Така форма запису рівняння лінії називається параметричною, а величина t називається параметром. Геометричний зміст цього параметра t може бути найрізноманітнішим. Параметр визначає положення точки (x, y) на площині. При зміні t точка на площині переміщується, описуючи при цьому деяку лінію, задану, таким чином, параметрично Щоб перейти до рівняння лінії, записаного в загальній формі (1), достатньо з будь-якого рівняння системи (4) знайти параметр t і підставити його в друге рівняння. Проте слід зазначити, що, по-перше, це не завжди можливо, а по-друге, інколи користування параметричною формою задання лінії має ряд переваг над іншими.