- •Раздел 1. Дифференциальные уравнения, используемые для описания механических процессов (теоретическое описание механического процесса при помощи дифференциальных уравнений, методы их решения.)
- •Министерство транспорта российской федерации
- •Росморфлот
- •Крымский филиал
- •Фгоу впо «Морская государственная академия
- •Имени адмирала ф.Ф.Ушакова»
- •Кафедра фундаментальных дисциплин
- •Курсовая работа
- •По высшей математике
- •«Применение дифференциальных уравнений
- •Для отображения механических процессов»
- •Севастополь 2011
- •1. Дифференциальные уравнения, используемые для отображения механических процессов
- •Основные типы дифференциальных уравнений, применяемых для описания механических процессов
- •2. Однородные дифференциальные уравнения
- •3. Линейные дифференциальные уравнения
- •4. Уравнение в полных дифференциалах.
- •5. Дифференциальные уравнения, неразрешенные относительно производной. Уравнение Лагранжа
- •Уравнение Клеро
- •6. Дифференциальные уравнения высших порядков.
- •6.1. Уравнения, допускающие понижение порядка
- •6.2. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков
- •Интегрирование лоду второго порядка с постоянными коэффициентами
- •Линейные неоднородные дифференциальные уравнения (лнду)
- •Основные формы дифференциальных уравнений динамики материальной точки
- •Колебательные движения
- •Варианты заданий
Уравнение Клеро
Частный случай уравнения Лагранжа - при φ(у') = у' уравнение принимает вид
у = х·у' + ψ(у') и называется уравнением Клеро.
Приняв у' = р, получаем: у = хр + ψ(р)
Дифференцируя по х, имеем р = р + х· + ψ'(р)· или (х + ψ'(р))· = 0
Если = 0, то р = с. Поэтому, ДУ имеет общее решение у = хс + ψ(с)
Если х = — ψ'(р), у = хр + ψ(р). Это решение особое решение уравнения Клеро: оно не содержится в формуле общего решения уравнения.
6. Дифференциальные уравнения высших порядков.
Дифференциальные уравнения порядка выше первого называются ДУ высших порядков.
ДУ второго порядка в общем случае записывается в виде F (x;y;y';y'') или, если это возможно, в виде, разрешенном относительно старшей производной у'' = f(х;у; y')
Решением ДУ называется всякая функция у = φ (х), которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.
Общим решением ДУ называется функция у = φ(х; с1; с2), где с1 и с2 не зависящие от х произвольные постоянные, удовлетворяющая условиям:
1. φ(х; с1; с2) является решением ДУ для каждого фиксированного значения с1 и с2.
2. Каковы бы ни были начальные условия
существуют единственные значения постоянных с1 = с10 и с2 = с20 такие, что функция у = φ(х; с10; с20) является решением уравнения и удовлетворяет начальным условиям.
Всякое решение у = φ(х; с10; с20) уравнения, получающееся из общего решения у = φ(х; с1; с2) при конкретных значениях постоянных с1 = с10, с2 = с20, называется частным решением.
Решения ДУ, записанные в виде Ф(х; у; с1; с2) = 0; Ф(х; у; с10; с20) = 0 называются общим и частным интегралом соответственно.
График всякого решения ДУ второго порядка называется интегральной кривой. Общее решение ДУ представляет собой множество интегральных кривых; частное решение одна интегральная кривая этого множества, проходящая через точку (хо; уо) и имеющая в ней касательную с заданным угловым коэффициентом у'(хо) = у'.
6.1. Уравнения, допускающие понижение порядка
Одним из методов интегрирования ДУ высших является метод понижения порядка. Суть метода состоит в том, что с помощью замены переменной (подстановки) данное ДУ сводится к уравнению, порядок которого ниже.
Рассмотрим три типа уравнений, допускающих понижение порядка.
-
Уравнение у" = f(х). Порядок можно понизить, введя новую функцию приняв у' = р(х), тогда у" =р'(х) и получаем ДУ первого порядка р' = f(х).
-
Уравнение у" = f(х;у'). Обозначим у' = р(х), тогда уравнение принимает вид р' = f(х;р).
-
Уравнение у" = f(у;у'), не содержащее явно независимой переменной х. Для понижения порядка вводится новая функция р=р(у), зависящая от переменной у, принимаем у' = р и дифференцируем это равенство по х.
6.2. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков
Уравнение вида bо(х) · у(n) + b1(х) · у(n-1)+... + bn(х)у = g(х),
где bо(х) ≠ 0, b1 (х),... , bn(х), g(х) — заданные функции (от х), называется линейным ДУ n-го порядка.
Оно содержит искомую функцию у и все ее производные лишь в первой степени. Функции bо(х) ≠ 0, b1 (х),... , bn,(х) называются коэффициентами уравнения, а функция g(х) его свободным членом.
Если свободный член g(х)0, то уравнение называется линейным однородным уравнением (ЛОДУ); если g(х) ≠0, то уравнение называется неоднородным (ЛНДУ).