- •Раздел 1. Дифференциальные уравнения, используемые для описания механических процессов (теоретическое описание механического процесса при помощи дифференциальных уравнений, методы их решения.)
- •Министерство транспорта российской федерации
- •Росморфлот
- •Крымский филиал
- •Фгоу впо «Морская государственная академия
- •Имени адмирала ф.Ф.Ушакова»
- •Кафедра фундаментальных дисциплин
- •Курсовая работа
- •По высшей математике
- •«Применение дифференциальных уравнений
- •Для отображения механических процессов»
- •Севастополь 2011
- •1. Дифференциальные уравнения, используемые для отображения механических процессов
- •Основные типы дифференциальных уравнений, применяемых для описания механических процессов
- •2. Однородные дифференциальные уравнения
- •3. Линейные дифференциальные уравнения
- •4. Уравнение в полных дифференциалах.
- •5. Дифференциальные уравнения, неразрешенные относительно производной. Уравнение Лагранжа
- •Уравнение Клеро
- •6. Дифференциальные уравнения высших порядков.
- •6.1. Уравнения, допускающие понижение порядка
- •6.2. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков
- •Интегрирование лоду второго порядка с постоянными коэффициентами
- •Линейные неоднородные дифференциальные уравнения (лнду)
- •Основные формы дифференциальных уравнений динамики материальной точки
- •Колебательные движения
- •Варианты заданий
Интегрирование лоду второго порядка с постоянными коэффициентами
Частным случаем рассмотренных выше линейных однородных дифференциальных уравнений являются ЛОДУ с постоянными коэффициентами: у" + р·у' + q·у = 0 (где р и q постоянные).
Для нахождения общего решения уравнения достаточно найти два его частных решения, образующих фундаментальную систему.
Будем искать частные решения уравнения в виде у = еkх, где k – некоторое число (предложено Эйлером). Дифференцируя эту функцию два раза и подставляя выражения для у, у' и у" в уравнение получим: еkх ·(k2 + pk + q) = 0 или k2 + pk + q = 0 (еkх≠0)
Уравнение k2 + pk + q = 0 называется характеристическим уравнением ДУ (для его составления достаточно в уравнении заменить у", у' и у соответственно на k2, k1 и 1).
При решении характеристического уравнения возможны следующие три случая.
Случай 1. Корни k1 и k2 уравнения действительные и различные: k1 ≠ k2 (D=>0). В этом случае частными решениями ДУ являются функции у1 = е1х и у2 = . Они образуют фундаментальную систему решений (линейно независимы).
Следовательно, общее решение уравнения имеет вид: у = С1+С2
Случай 2. Корни k1 и k2 характеристического уравнения действительные и равные: k1=k2
(D==0)
В этом случае имеем лишь одно частное решение у1 = , наряду с у1 решением уравнения будет и у2 = х.
Частные решения у1 = и у2 = х образуют фундаментальную систему решений: W(х) = ≠0. Следовательно, в этом случае общее решение ЛОДУ имеет вид у=С1+С2х
Случай 3. Корни k1 и k2 характеристического уравнения - комплексные: k1= α + βi, k2 = α – βi.
(D=<0, α = , β = >0)
В этом случае частными решениями ДУ являются функции у1 = е(α + βi)х и у2 = е(α – βi)х.
Найдем два действительных частных решения уравнения. Для этого составим две линейные комбинации решений у1 и у2:
= еαх ·cos βх = ỹ1 и = еαх ·sin βх = ỹ2
Общее решение уравнения запишется в виде у = еαх ·(С1cos βх + С2sin βх).
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения (лнду)
ЛНДУ второго порядка у" + α1(х)у' + α2(х)у = f(х), где α1(х), α2(х), f(х) - заданные, непрерывные на (а; b) функции.
Уравнение у" + α1(х)у' + α2(х)у = 0 левая часть которого совпадает с левой частью ЛНДУ, называется соответствующим ему однородным уравнением.
Общим решением у уравнения (1) является сумма его произвольного частного решения у٭ и общего решения ỹ = с1у1 + с2у2 соответствующего однородного уравнения (2), т. е. у = у٭ + ỹ.
Основные формы дифференциальных уравнений динамики материальной точки
Ускорение материальной точки массы m, движущейся под действием приложенных к ней сил F1, F2,..., Fn, определяется с помощью основного закона динамики (второго закона Ньютона) в сочетании с законом независимости действия сил: mа = F1+ F2+...+ Fn.
Дифференциальные уравнения движения материальной точки в проекциях на оси неподвижных декартовых координат имеют вид
mх" =, mу" =, mz" =.
Где х", у", z"- проекции ускорения а, а Fkх; Fkу; Fkz — проекции силы F на соответствующие оси декартовых координат.
Дифференциальные уравнения плоского движения материальной точки в полярных координатах имеют вид m(r"—rφ'2) =, =
здесь r — радиус-вектор точки, φ — полярный угол.
Дифференциальные уравнения движения материальной точки записываются соответственно выбранной системе координат. Так, дифференциальные уравнения можно составить в цилиндрических, сферических и других криволинейных координатах.
С помощью дифференциальных уравнений движения материальной точки можно решать две основные задачи динамики: прямую и обратную. Прямой называется задача, в которой по заданным движению и массе материальной точки определяется равнодействующая сил, приложенных к этой точке. Обратной называется задача, в которой по заданным силам и массе материальной точки определяется ее движение.