- •1. Определение линейного пространства.
- •2. Дайте определение подпространства линейного пространства.
- •3. Понятие линейной зависимости и линейной независимости системы векторов, свойства линейной зависимости.
- •4. Определение ранга системы векторов и базиса линейного пространства.
- •5. Определение ортогональной системы векторов.
- •6. Дайте определение скалярного произведения в Rn.
- •7. Понятие определенной и неопределенной систем уравнений.
- •8. Определение фундаментального набора решений системы уравнений.
- •9. Дайте определение ранга матрицы.
- •10. Дайте определения вырожденной и невырожденной квадратных матриц.
- •11. Определение ортогональной матрицы.
- •Свойства
- •12. Правило умножения матриц. Свойства умножения матриц.
- •13. Определение обратной матрицы и ее свойства.
- •Cвойства обратных матриц
- •16. Запишите формулу Муавра.
- •18. Сформулируйте определение линейного преобразования.
- •19.Приведите определение собственных значений и собственных векторов линейного преобразования.
- •20. Дайте определение числа и вектора Фробениуса.
- •21. Сформулируйте определение канонического и нормального вида квадратичной формы. Как привести квадратичную форму к нормальному виду.
- •22.Сформулируйте закон инерции квадратичных форм. Проиллюстрируйте закон инерции на примере.
- •23. Критерий Сильвестра.
- •25. Определение отрезка, теорема об отрезке.
- •27. Определение и свойства выпуклого множества.
- •29. Понятие канонической и стандартной задач линейного программирования.
1. Определение линейного пространства.
Множество V называется линейным пространством, а его элементы 0 веторами, если на нем определены 2 операции:
-
Сложение векторов, означающее, что каждым двум векторам по некоторому правилу ставится в соответствие третий вектор, называемый суммой векторов и обозначается
-
Умножение вектора на число, означающее, что каждой паре, состоящей из вектора и числа λ, ставится в соответствие вектор, называемый произведением λ на и обозначаемый λ.
Указанные операции должны удовлетворять следующим условиям (аксиомам):
1) = +
2) () + = + (+)
3) существует нулевой элемент , такой, что
+= для любого
4) для каждого элемента существует противоположный элемент -, такой, что
+(-) =
5) λ() = λ+ λ
6) (λ+μ) = λ+ μ
7) λ (μ) = (λμ)
8) 1 * =
Где , и - произвольные элементы V, а λ и μ – произвольные действительные числа, которые принято называть скалярами.
2. Дайте определение подпространства линейного пространства.
Пусть V-линейное пространство, а L-произвольное подмножество (LV). Подмножество L называется подпространством линейного пространства V, если оно само является линейным пространством относительно тех же операций сложения и умножения на число, что определены в
Критерии подпространств:
-
для любых двух векторов из L их сумма также принадлежит L
-
для любого вектора из L и любого действительного числа λ произведение λтакже принадлежит L
Примеры:
-
Множество всех многочленов, заданных на отрезке [a;b]-подпространством линейного пространства функций, заданных на этом отрезке.
-
Множество всех многочленов, степень которых не превышает n-1, является подпространством множества многочленов, степень которых не превышает n.
-
Множество решений однородной системы линейных уравнений с n неизвестными является подпространством пространства R.
dim V≥dim L, где V-линейное пространство, L-его подпростр-во.
Свойства подпространств:
-
Подпространство линейного пространства есть линейное пространство
-
Размерность подпространства не больше размерности линейного пространства.
-
Если e1, e2, e3 – базис подпространства линейного пространства, то
-
ek+1, ek+2, en R так что, e1, e2 ek en – базис в R.
3. Понятие линейной зависимости и линейной независимости системы векторов, свойства линейной зависимости.
Система векторов а1,а2,…,аs линейного пространства V называется линейно зависимой, если существуют такие числа с1,с2,…,сs , не равные одновременно нулю, что справедливо равенство с1а1 + с2а2 + … + сsas = 0
Например, 1 = (2;2;3), 2 = (0;-4;5), 3 = (3;13;-8) линейно зависимая система векторов, поскольку =(0;0;0)
Свойства линейной зависимости:
-
Система из одного вектора линейно зависима тогда и только тогда, когда =
-
Система, содержащая более одного вектора, линейно зависима в том и только в том случае, когда среди данных векторов имеется такой, который линейно выражается через остальные.
-
Если часть система зависима , то и вся система зависима.
-
Если система а1,а2,…,аs линейно независима, но при добавлении к ней еще одного вектора становится зависимой, то вектор линейно выражается через а1,а2,…,аs .
Если система векторов а1,а2,…,аs такова, что равенство с1а1 + с2а2 + … + сsas = 0 возможно, только если с1=с2= … =сs = 0, то эта система называется линейно независимой.