16. Запишите формулу Муавра.

zⁿ=|z|ⁿ(cosnφ+sinnφ);

=(cos(φ+2πk/n)+isin(φ+2πk/n)) k=0,1,…,n-1.

Корень n-ой степени из комплексного числа принимает n-1 значений.

Формула Муавра применяется для вычисления N-ой степени комплексного числа. Z ⁿ = |Z|ⁿ ( cos nα + i sin nα ). Корнем N-ой степени из комплексного числа Z называется такое число U, что Uⁿ = Z.

Где K = 0, 1, … , N – 1.

Корень N-ой степени из комплексного числа принимает N значений. Комплексные числа, являющиеся корнями степени N из комплексного числа Z , соответствуют точкам комплексной плоскости, расположенным в вершинах правильного N-угольника, вписанного в окружность радиусом корень N-ой степени из модуля с центром в точке Z=0.

17. Сформулируйте основную теорему алгебры. Решите уравнение х³-64=0

Основная теорема алгебры – теорема о комплексных числах. Комплексное число Z = a + ib, где a и b – действительные числа; слагаемые a и b называются соответственно действительной и мнимой частью комплексного числа; символ i, определяемый условием i² = -1, называется мнимой единицей. Комплексные числа вводятся в связи с необходимостью решать уравнения вида X² + 1 = 0.

Теорема: всякий многочлен с любыми числовыми коэффициентами, степень которых не меньше 1, имеет хотя бы один корень, в общем случае комплексный (т. е. другими словами всегда имеет n корней). У данного уравнения на множестве комплексных чисел существует 3 корня. Чтобы их найти, представлю 64 в тригонометрической форме:

64=64(cos0+isin0).

Тогда x_k=³√64(cos(0+2πk/3)+isin(0+2πk/3))=

=4(cos2πk/3+isin2πk/3); k=0,1,2. т. е.

x₀=4(cos0+isin0)=4

x₁=4(cos2π/3+isin2π/3)=-2+2i√3

x₂=4(cos4π/3+isin4π/3)=-2-2i√3

18. Сформулируйте определение линейного преобразования.

Отображение линейного пространства V в себя называется линейным преобразованием, если для любых векторов x, y, принадлежащих V, для любого R выполняются равенства: 1) f(x+y)=f(x)+f(y); 2) f(x)= f(x).

Симметричное отображение относительно прямой x+y=0 в е².

е₁=0*е₁-1*е₂

е₂=-1*е₁+0*е₂

Линейное отображение удовлетворяет двум условиям линейности. 1) А(У1+У2)=АУ1+АУ2 У- прообраз, V- образ 2) любому вектору У принад. У и любому V любому V: А(λУ)= λАУ. Из условия 1 и 2 следует, что линейное отображение всякой лин. комбинации λ1У1+ λ2У2+….. будет являться линейным отображением.

19.Приведите определение собственных значений и собственных векторов линейного преобразования.

Число λ называется собственным значением квадратной матрицы А порядка n, если существует ненулевой вектор-столбец R, такой, что А=λ.

Векторы x линейного пространства V называется собственным вектором линейного преобразования V, если выполняется равенство f(x)= x, где  - некоторое число. при этом  называется собственным значением линейного преобразования в A^-1x=1/*x.

Доказательство: Ax=x *A^-1

A^-1(Ax)=A^-1(x)

x=(A^-1x) A^-1x=1/*x,

20. Дайте определение числа и вектора Фробениуса.

Ненулевой вектор x называется собственным вектором линейного преобразования А, соответствующим собственному числу λ , если .

Вместо слов "собственное число" говорят также собственное значение, характеристическое число или характеристическое значение.

Если L - двумерное или трехмерное линейное пространство, то собственный вектор линейного преобразования - это такой вектор, что его образ коллинеарен самому вектору. Иными словами, после применения преобразования (в вещественном случае) может измениться длина вектора, а направление или сохранится, или изменится на противоположное, или вектор станет равным нулю (в случае ).