7. Понятие определенной и неопределенной систем уравнений.

Система уравнений называется определенной, если она имеет конечное число решений, и неопределенной, если она имеет бесконечное множество решений.

8. Определение фундаментального набора решений системы уравнений.

Решения системы образуют фундаментальную систему решений, если столбцы образуют линейно независимую систему и любое решение системы является линейной комбинацией этих столбцов.

Пусть - фундаментальная система решений однородной системы . Тогда выражение где - произвольные числа, будем называть общим решением системы .

Из определения фундаментальной системы решений следует, что любое решение однородной системы может быть получено из общего решения при некоторых значениях . И, наоборот, при любых фиксированных числовых значениях из общего решения получим решение однородной системы.

Базис пространства решений однородной СЛАУ называется фундаментальным набором решений. Чтобы построить фундаментальный набор решений СЛАУ надо решить ее методом Гаусса, найти ее общее решение, выразить базисные переменные через свободные.

После решения СЛАУ методом Гаусса мы получаем общее решение однородной СЛАУ, которая содержит ряд переменных для получения фундаментального набора решений следует подставить в общее решение единицы и нули.

9. Дайте определение ранга матрицы.

Рангом матрицы называется ранг системы векторов, образуемых строками матрицы.

Рангом матрицы А называется наибольший из порядков миноров матрицы А, отличных от нуля. Ранг нулевой матрицы считается равным нулю. (Обозначается rk A)

10. Дайте определения вырожденной и невырожденной квадратных матриц.

Матрица А порядка n*n называется невырожденной, если ее строки линейно независимы, в противном случае – вырожденная.

Теорема: квадратная матрица А невырождена тогда и только тогда, когда ее определитель |А| не равен нулю.

|А| = = -1 0 – невырожденная.

Квадратная матрица A называется ортогональной, если соответствующая ей система векторов столбцов является ортонормированной.

(a_i,a_j)=∑_k=1ⁿa_kia_kj= δ_ij

Пусть A - ортогональная матрица.

A^T=A^-1 –необходимое и достаточное условие ортогональности матрицы A.

A^TA=E (по определению), A^-1A=E.

А т.к. обратная матрица существует, если А невырожденная, то ортогональная матрица является невырожденной.

Квадратная матрица A называется вырожденной, если ее определитель A=0. (по опр.) Соответственно квадратная матрица A, определитель которой A0, называется невырожденной.

Пусть, например,

Прибавив к первой строке определителя

вторую, умноженную на -3, и третью, умноженную на 5, получим определитель с первой строкой ,который равен 0.

Т.к. при указанных преобразованиях величина определителя не изменилась, то . ч.т.д.

11. Определение ортогональной матрицы.

Ортогональной называют такую квадратную матрицу A, что

A ^{− 1} = A^T,

здесь T — операция транспонирования.

Свойства

• Множество ортогональных матриц порядка n над полем k образует группу по умножению, так называемую ортогональную группу которая обозначается O_n(k) или (если k опускается то предполагается ).

• Определитель ортогональной матрицы равен .

• Ортогональные матрицы соответствуют линейным операторам, переводящим ортонормированный базис линейного пространства в ортонормированный.

• Столбцы и строки ортогональной матрицы являются ортонормальными векторами, то есть если дана матрица (A)_ij, то

∑	aijaik = δjk
∑	ajiaki = δjk

где и δ_jk = 1 для j = k и δ_jk = 0 для .

• Любая вещественная ортогональная матрица подобна блочно-диагональной матрице с блоками вида

и