Л.18 Дифференцирование фкп. Аналитическая ф-ия

18.1. Производная и дифференциал фкп: основные понятия.

Определение производной ФКП не отличается от аналогичного определения производной ф-ии действительного переменного.

Рассмотрим однозначную ф-ию w=f(z). Пусть z=x+iy – некоторая точка, z є D(f). Выполним следующие действия:

А) дадим Х и У приращения ∆Х и ∆У, тогда и переменная Z получит приращение ∆Z=∆Х +i∆У;

Б) найдем соответствующие приращения ф-ии w=f(z): ∆W=f(Z+∆Z) – f(Z);

В) составим ∆W / ∆Z;

Опр_1. Если существует конечный предел отношения приращения ∆W ф-ии к приращению ∆Z при условии что ∆Z -> 0 произвольным образом, то этот предел назыв. Производной ф-ии w=f(z) и обозначается w’.

Таким образом, f `(z)=lim_∆Z->0∆W / ∆Z (1)…

Замечание: в равенстве (1) z -> 0 произвольным образом, т.е. точка ∆Z+Z приближается к Z по любому из бесконечного множества направлений.

Опр_2. Если ф-ия w=f(z) имеет в т. Z производную, то она называется дифференцируемой в этой точке, а выражение f `(z) ∆Z назыв. Дифференциалом ф-ии w=f(z).

Основные свойства производной ФКП:

1. f

   (kf)` = k(f)`;

   (f±g)`= f `± g`;

   (f g)` = f `g + f g`;

   f(z) ` f `(z) g(z) – f(z)g`(z)

   g(z) g²(z)

   (z)=const => f `(z)=0

2. f

   =

   `(z) и g `(z) =>

3. w=f(g(z)) => w ` = (f(g(z)) ` = f `<sub>g</sub> g`_z;

4. w=f(z): z=f ^-1 (w) => 1 / f `(w), f `(w)≠0.

18.2. Критерий дифференцируемости фкп.

Любую ФКП можно представить в виде w=f(z)=

=f(x+iy)=U(x,y)+iV(x,y), где U(x,y) – Re w

V(x,u) – Im w

∆w=f(x+iy)-f(z)=(U(x+∆x),(y+∆y))+iV(x+∆x),(y+∆y))-

• (U(x,y)+iV(x,y))=(U(x+∆x),(y+∆y)-U(x,y))+

+i(V(x+∆x),(y+∆y)-V(x,y))= ∆U + ∆V.

f `(z)=lim_∆x->0∆w/∆z = lim_∆x->0(∆U + i∆V)/( ∆x + i∆y) (2).

Пусть ф-ия ∆w=f(x) имеет производную в точке z. Тогда предел (2) согласно определению производной не зависит от направления при котором т. Z+∆Z -> Z. А если это так, то считаем, что т. Z+∆Z приближается к т. Z по прямой параллельной оси ОХ, тогда f `(z)=lim_∆x->0(∆U+i∆V) / ∆x = lim_∆x->0(∆U/∆x + i∆V/∆y) = lim_∆x->0∆U/∆x + lim_∆x->0i∆V/∆y = ∂U/∂x+ +i∂V/∂х (3)…

Если же т. Z+∆Z приближается к т. . Z по прямой, параллельной оси ОУ, тогда . ∆Z = ∆У, ∆Х=0.

f `(z)=lim_∆y->0(∆U+i∆V)/ i∆у = lim_∆y->0(∆V/∆y + ∆U/i∆y) = lim_∆y->0∆V/∆y – i lim_∆y->0i∆U/∆y = ∂V/∂y - i∂U/∂y (4).

Т

∆U/∆x = ∆V/∆y

∆V/∆x = - ∆U/∆y

ак как пределы (3) и (4) должны быть равны, то

∂U/∂x+ +i∂V/∂х = ∂V/∂y - i∂U/∂y =>

Теорема 18.1. (Критерий дифференц. ф-ии в т.)

∆U/∆x = ∆V/∆y

∆V/∆x = - ∆U/∆y

Если ф-ия ∆w=f(x) определена в т. Z=x+iy и некоторой её окрестности, то для дифференцируемости ф-ии ∆w=f(x) в т. Z необходимо и достаточно, чтобы в этой точке существовали ч/п функций U(x,y) и V(x,y) и выполнялись следующие условия: - условия КРЭДА (5).

Следствие: если условие КРЭДА выполняется, то производную ФКП можно найти по одной из четырёх формул:

f `(z)= ∆U/∆x + i∆V/∆x = ∆V/∆y + i∆V/∆x =

= ∆U/∆x - i∆U/∆y = ∆V/∆y - i∆U/∆y

Пример: (е^z)^z = e^z

W(z)=e^z = e^x(cosy + isiny) = e^x cosy +ie^x siny

U(x,y) = e^x cosy U’_x=e^xcosy, V’_x=e^xsiny =>

V(x,y) = e^x siny U’_y=e^x siny, V’_y=e^x cosy =>

• U’_x=V’_y => w = e^z

• U’_y=V’_x

Следовательно, f ‘(z)=U’_x+iV’_x = e^xcosy + ie^xsiny =

= e^x (cosy +isiny) = e^x

Теорема 18.2.

Все основные элементарные ФКП дифференцируемы во всех точках своей области определения.