1. Укажите, какие из равенств не выполняются для любых матриц А, В, С (предполагается, что все произведения определены): а) АВ = ВА; б) (АВ)С = А(ВС); в) (АВ)^Т = В^Т * А^Т; г) (АВ)^Т = А^Т *В^Т. Приведите примеры, опровергающие неверные равенства.

Определение: Матрица – прямоугольная таблица чисел. Отдельные числа (или символы, их заменяющие) называют элементами матрицы.

a11 a12 …a1n

a21 a22 …a2n

…

an1 an2 …ann

mxn – порядок матрицы.

Свойства сложения.

1.Ассоциативность:А+(В+С)=(А+В)+С

2. Коммутативность: А+В=В+А.

3. А+0=А.

Разность матриц: А-В = А+(-1)В

Свойства умножения матриц:

Если матрицы А, В и С таковы, что их произведение возможно, то

1. (АВ)С = А(ВС)

2. А(В+С)=АВ+АС

3. (В+С)А=ВА+СА

4.

5. – умножение матриц не обладает свойством коммутативности.

Не выполняется АВ=ВА, пример: А – матрица порядка 2х2, В порядка 2х3, в этом случае АВ не равняется ВА, т.к. ВА не существует.

A = , B = ,

то AB = , а BA =

Не выполняется АВ^т = А^т *В^т, пример: А – матрица порядка 2х2, а В порядка 2х3, в этом случае АВ^т не равняется А^т*В^т, т.к. А^т*В^т не существует.

Остальные равенства выполняются для любых матриц АВС.

3. Дайте определение произведения матриц А и В. Приведите пример, когда АВ существует, а ВА – нет. Существуют ли ненулевые квадратные матрицы А и В такие, что АВ = 0? Ответ обоснуйте.

Пусть даны матрицы и .

* =

Получаем матрицу С, каждый элемент которой равен сумме произведений элементов i–ой строки А на соотв. элемент j–го столбца В.

1) Произведение А * В определено, если s = m (число столбцов А равно числу строк В). Если , то произведение найти нельзя.

Чтобы оба произведения AB и BA не только были определены, но и имели одинаковый порядок, необходимо и достаточно, чтобы обе матрицы A и B были квадратными матрицами одного и того же порядка.

Например:

А _{2 * 3} * В _{3 * 4} - сущ. s = m

В _{3 * 4} * А _{2 * 3} – не сущ.

2) Если s = m, то матрица произведения A*B имеет порядок r*n.

3) Если произведение матриц определено, то С=АВ есть C=||c_ik||, где с_ik = скалярному произведению i строки А на k столбец В.

Существуют ненулевые квадратные матрицы А и В такие, что АВ = 0:

1 2 -2 -2

1 2 1 1

4. Дайте определение произведения матриц А и В. Существуют ли матрицы А и В такие, что АВ = 0, а ВА = Е? Ответ обоснуйте.

Пусть даны матрицы и .

* =

Получаем матрицу С, каждый элемент которой равен сумме произведений элементов i–ой строки А на соотв. элемент j–го столбца В.

1) Произведение А * В определено, если s = m (число столбцов А равно числу строк В). Если , то произведение найти нельзя.

Чтобы оба произведения AB и BA не только были определены, но и имели одинаковый порядок, необходимо и достаточно, чтобы обе матрицы A и B были квадратными матрицами одного и того же порядка.

2) Если s = m, то матрица произведения A*B имеет порядок r*n.

3) Если произведение матриц определено, то С=АВ есть C=||c_ik||, где с_ik = скалярному произведению i строки А на k столбец В.

5. Дайте определения вырожденной и невырожденной квадратных матриц порядка 3. Приведите примеры таких матриц. Докажите, что ортогональная матрица является невырожденной.

Матрица А порядка n*n называется невырожденной, если ее строки линейно независимы, в противном случае – вырожденная.

Теорема: квадратная матрица А невырождена тогда и только тогда, когда ее определитель |А| не равен нулю.

|А| = = -1 0 – невырожд.

Квадратная матрица A называется ортогональной, если соответствующая ей система векторов столбцов является ортонормированной.

(a_i,a_j)=∑_k=1ⁿa_kia_kj= δ_ij

Пусть A - ортогональная матрица.

A^T=A^-1 –необходимое и достаточное условие ортогональности матрицы A.

A^TA=E (по определению), A^-1A=E.

А т.к. обратная матрица существует, если А невырожденная, то ортогональная матрица является невырожденной.

6. Приведите основные свойства определителей. Проверьте справедливость свойства |АВ|=|А|*|В| для матриц

А= и В=

Свойства определителей:

1. Если какая-либо строка определителя состоит из нулей, то и сам определитель равен нулю.

2. При перестановке двух строк определитель умножается на -1.

3. Определитель с двумя одинаковыми строками равен нулю.

4. Общий множитель элементов любой строки можно вынести за знак определителя.

5. Если элементы некоторой строки определителя А представлены в виде суммы двух слагаемых, то и сам определитель равен сумме двух определителей Б и Д. В определителе Б указанная строка состоит из первых слагаемых, в Д - из вторых слагаемых. Остальные строки определителей Б и Д - те же, что и в А.

6. Величина определителя не изменится, если к одной из строк прибавить другую строку, умноженную на какое угодно число.

7. Сумма произведений элементов любой строки на алгебраические дополнения к соответствующим элементам другой строки равны 0.

8. Определитель матрицы А равен определителю транспонированной матрицы А^т, т.е. определитель не меняется при транспонировании.

|A| = | 1 2| = 1+2 =3

|-1 1|

|B| = |a b| = ad – bc

|c d|

|A| |B| = 3 (ad – bc)

|AB| = | 1 2| |a b| = |a + 2c b + 2d| =

|-1 1| |c d| |-a + c -b + d|

= (a + 2c)(-b + d) + (a – c)(b + 2d) =

= - ab + ad – 2bc + 2cd + ab + 2ad – bc – 2cd = 3ad – 3bc = 3 (ad – bc)

7. Как определяется операция умножения матрицы а на число λ? Приведите пример. Как связаны определители квадратных матриц а и λА размера nxn? Ответ обоснуйте.

Произведением А на число λ называется матрица, каждый элемент которой равен произведению соответствующего элемента А на λ. Следствие: Общий множитель всех элементов матрицы можно выносить за знак матрицы.

10. Дайте определение ранга матрицы. Приведите примеры матриц третьего порядка рангов 1, 2 и 3. Что можно сказать об определителе произвольной матрицы размера nxn ранга n? Ответ обоснуйте.

Ранг матрицы – число линейно независимых столбцов или строк, содержащихся в данной матрице.

Число ненулевых диагональных элементов равно 2, следовательно, r(B)=2.

8. Сформулируйте правило Крамера для решения систем линейных уравнений. Приведите пример применения правила Крамера для системы линейных уравнений от трех переменных.

Пусть дана система АХ = В n линейных уравнений с n неизвестными. Если Aне равно 0, то система имеет единственное решение:x₁=A₁/ A ; x₂=A₂/ A , где А_i, Определители получаются из определителя|А| заменой соответствующего столбца столбцом свобод членов.

В виде матрицы эту систему можно записать таким образом :

A = , где

ответы будут уравнений будут находится в последнем столбце. Теперь мы введем понятие основного определителя; в данном случае он будет выглядеть таким образом :

= = 66 .

Основным определителем является матрица, составленная из коэффициентов стоящих при переменных. Они также идут в порядке столбцов, т. е. в первом столбце стоят коэффициенты, которые находятся при x, во втором столбце при y, и так далее. Это очень важно, ибо в следующих действиях мы заменяем каждый столбец коэффициентов при переменной на столбец ответов уравнений.

1 = = 43,

2 = = 41,

3 = = 51.

Затем нужно найти определители 1 , 2 , 3 и применить правило Крамера. Оно выглядит так :

x1 = = ,

x2 = = ,

x3 == – для данного случая, а в общем виде оно выглядит следующим образом : xi = .

17. Докажите что множество решений однородной системы линейных уравнений является линейным пространством. Как найти размерность этого пространства.

Множество V называется линейным векторным пространством, если в нем определены операции сложения и умножения на число: а+b=b+a (коммутативности), (a+b)+c=a+(b+c) (aссoциативности), сущ-ет нулевой вектор, такой, что если его прибавить к исходному вектору, то получится исходный вектор a+0=a , наличие противоположного вектора в сумме с исходным дающий ноль-вектор а+(-а)=0, (a+b)=ka+kb(дистрибутивность), (k+l)a=ka+la, k(la)=(kl)a, 1a=a и подчиняющиеся 8 аксиомам.

Примерами лин. пространств могут служить арифметическое n-мерное векторное пространство Rⁿ, пространство решений произвольной однородной СЛАУ, множество многочленов степени не превышающей n. Например, линейным является пространство подмножества векторов х=(х₁,х₂,х₃,

38. Какие векторы называются ортогональными? Докажите, что ортогональное дополнение к ненулевому вектору v в R⁵ является линейным подпространством размерности 4.

Два вектора aˉ и bˉ называются ортогональными, если их скалярное произведение равно 0. аˉbˉ, если аˉbˉ=0.