39. Дайте определение ортонормированной системы векторов.

Ортонормир. вектора – длина которых равна 1, их скалярное произведение равно нулю. Базис Е1, Е2, …. Еn евклидова н-мерного пространства наз. ортонорм., если он образ. ортогональный базис и все его вектора нормированны, ПРИМЕР а=( 0,1) б=(1,0).

9. Сформулируйте правило Крамера для решения систем линейных уравнений. Докажите правило Крамера для системы линейных уравнений от двух переменных.

Пусть дана система АХ = В n линейных уравнений с n неизвестными. Если Aне равно 0, то система имеет единственное решение:x₁=A₁/ A ; x₂=A₂/ A , где А_i, Определители получаются из определителя|А| заменой соответствующего столбца столбцом свобод членов.

Определители второго порядка (ОВП) имеют вид

=.|a b|

|c d|

Связь ОВП со СЛАУ размерностью 2*2: Представим себе СЛАУ размерностью 2*2 следующего вида

а11*х1+а12*х2=a10

а21*х1+а22*х2=a20

Домножим обе части первого уравнения на a₂₂, а обе части второго уравнения на -a₁₂

а11*а22*х1 + а12*а22*х2 = a10*а22

-а12*а12*х1 + -а12*а22*х2 = -a20*а12

Выражаем неизвестную переменную x₁ и получаем:

х1 =

В числителе и в знаменателе получившейся дроби мы видим вычисленные ОВП.

Проделаем аналогичную процедуру относительно x_2.

Значит, для нахождения решения СЛАУ размерностью 2*2 нужно лишь вычислить ОВП составленные из определенных комбинаций коэффициентов при неизвестных и свободных членов и поделить их друг на друга, таким образом, что в числителе дроби ОВП содержащий свободные члены, а в знаменателе соответственно не содержащий.

Пусть 0. Тогда СЛАУ имеет единственное решение. Пусть=0, а 1=0 и 2=0. Тогда СЛАУ имеет бесчисленное множество решений.

Пусть =0, а хотя бы один из1, 2 неравен 0, тогда СЛАУ не имеет решений.

12. Дайте определения вырожденной и невырожденной квадратных матриц порядка 3. Приведите примеры таких матриц. Докажите, что ортогональная матрица является невырожденной.

Матрица А порядка n*n называется невырожденной, если ее строки линейно независимы, в противном случае – вырожденная.

Теорема: квадратная матрица А невырождена тогда и только тогда, когда ее определитель |А| не равен нулю.

|А| = = -1 0 – невырожд.

Квадратная матрица A называется ортогональной, если соответствующая ей система векторов столбцов является ортонормированной.

(a_i,a_j)=∑_k=1ⁿa_kia_kj= δ_ij

Пусть A - ортогональная матрица.

A^T=A^-1 –необходимое и достаточное условие ортогональности матрицы A.

A^TA=E (по определению), A^-1A=E.

А т.к. обратная матрица существует, если А невырожденная, то ортогональная матрица является невырожденной.

13.Сформулируйте определение совместной системы линейных уравнений. Докажите, что система совместна тогда и только тогда, когда основной ранг матрицы равен рангу расширенной матрицы.

Система линейных уравнений с неизвестными или система m х n, записывается в общем виде так:

A11X1 + A12X2 + … + A1nXn = B1

A21X1 + A22X2 + … + A2nXn = B2

……………………………………….

Am1X1 + Am2X2 + … + AmnXn = Bm

Решением СЛАУ является любой набор значений неизвестных: Х1 = 1, Х2 = 2, …. , Х1 = n, удовлетворяющий всем уравнениям системы.

Если существует хотя бы одно решение системы – она совместна. Система, не имеющая ни одного решения, называется несовместной. Линейное уравнение называется однородным, если свободный член уравнения равен нулю. Система, состоящая из однородных уравнений, называется однородной.

Система линейных алгебраических уравнений AX = b совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы А равен рангу расширенной матрицы, по теореме Кронекера-Капелли.

19. Какие векторы называются коллинеарными? Докажите, что система, содержащая коллинеарные векторы, линейно зависима.

Два вектора а и b называются коллинеарными, если один из них выражается через другой ā = kb, k≠0.

Пусть дана система из 2-х векторов а и b. Если система линейно зависима, то один из векторов ā = kb. Т.е. эти 2 вектора являются коллинеарными. Таким образом, система из двух векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда эти векторы коллинеарные.

14.Сформулируйте определение несовместной системы линейных уравнений. Докажите, что однородная система, состоящая из трех уравнений от пяти переменных, имеет бесконечно много решений.

Система линейных уравнений с неизвестными или система m х n, записывается в общем виде так:

A11X1 + A12X2 + … + A1nXn = B1

A21X1 + A22X2 + … + A2nXn = B2

……………………………………….

Am1X1 + Am2X2 + … + AmnXn = Bm

Решением СЛАУ является любой набор значений неизвестных: Х1 = 1, Х2 = 2, …. , Х1 = n, удовлетворяющий всем уравнениям системы.

Если существует хотя бы одно решение системы – она совместна. Система, не имеющая ни одного решения, называется несовместной. Линейное уравнение называется однородным, если свободный член уравнения равен нулю. Система, состоящая из однородных уравнений, называется однородной.

Для любой системы возможны только три случая:

1) система не имеет ни одного решения;

2) система имеет единственное решение;

3) система имеет бесчисленное множество решений.

АХ = 0.

х1 х2 х3 х4 х5 0

1 0 0 a d 0

0 1 0 b e 0

0 0 1 c f 0

Здесь будет 3 базисных переменных, напр. х1, х2, х3, а остальные две свободные (х4,х5) которые могут принимать любые значения, поэтому данная СЛАУ будет иметь бесконечно много решений.

15.Сформулируйте определение совместной системы линейных уравнений. Докажите, что совместная система линейных уравнений имеет либо одно решение, либо бесконечно много решений. Приведите примеры.

Система линейных уравнений с неизвестными или система m х n, записывается в общем виде так:

A11X1 + A12X2 + … + A1nXn = B1

A21X1 + A22X2 + … + A2nXn = B2

……………………………………….

Am1X1 + Am2X2 + … + AmnXn = Bm

Решением СЛАУ является любой набор значений неизвестных: Х1 = 1, Х2 = 2, …. , Х1 = n, удовлетворяющий всем уравнениям системы.

Если существует хотя бы одно решение системы – она совместна. Система, не имеющая ни одного решения, называется несовместной. Линейное уравнение называется однородным, если свободный член уравнения равен нулю. Система, состоящая из однородных уравнений, называется однородной.

Если система совместна, то она может иметь единственное решение, и в этом случае ее называют определенной и неопределенной когда она имеет бесконечно много решений.

Совместная система лин-х уравнений имеет одно решение в случае, когда кол-во ур-й совпадает с кол-вом переменных. Имеет бесконечно много решений, когда кол-во переменных превышает количество ур-й и когда кол-во уравнений совпадает с кол-вом переменных, и при этом в процессе элементарных преобразований строк матрицы возникают нулевые строки.

х₄) в R⁴, выделенное условием V={x€R⁴|x₁+x₂+x₃+x₄=0}.

18. Дайте определение линейно зависимой системы векторов. Докажите, что 4 строки в R4 линейно зависимы тогда и только тогда, когда определитель, составленный из этих строк, равен нулю.

Система векторов а₁, а₂ и а_m называется линейно зависимой, если существуют такие числа с₁, с₂, с_m (не равные нулю одновременно) и выполняется равенство:

с₁ā₁+с₂ā₂+...+с_mā_m =0.

Пример: дана система из 4 векторов в R⁵ . Выяснить, является ли эта система лин. завис.

а₁=(-1,3,3,2,5)

а₂=(-3,5,2,3,4)

а₃=(-3,1,-5,0,-7)

а₄=(-5,7,1,4,1)

Решение. Пишем уравнение х₁а₁+х₂а₂+х₃а₃+х₄а₄=0 или, в координатной записи,- систему ур-й:

-х₁-3х₂-3х₃-5х₄=0

3х₁+5х₂+ х₃+7х₄=0

3х₁+2х₂-5х₃+х₄=0

2х₁+3х₂ +4х₄=0

5х₁+4х₂-7х₃+х₄=0

Если эта система имеет только нулевое решение, то система исходных векторов лин независима. Если же имеются и ненулевые решения, то система лин завис. Решим систему ур методом Гаусса. Получилась система уравнений с базисными неизвестными х₁,х₂,х₄, и свободными неизвестным х₃. Наличие свободного неизвестного означает, что решений - бесконечное множество, значит, исходная система векторов линейно зависима.

20. Дайте определение линейно независимой системы векторов. Докажите, что любая система векторов, содержащая пропорциональные векторы, линейно зависима.

Если система векторов ā₁,ā₂,…,ā_m такова, что равенство с₁ā₁+с₂ā₂+...+с_mā_m =0 возможно только при с₁=c₂=,..,=с₃=0, то эта система называется линейно независимой.

Пусть задана сист. из 3 векторов а₁,а₂,а₃ и причем часть системы, состоящая из двух векторов а₁ и а₂ лин. зависима, т. е. справедливо равенство

с₂а₂+с₃а₃=0, где с₂ или с₃ отличны от 0. добавим к обеим частям вектор 0=0а₁, получим равенство 0а₁+с₂а₂+с₃а₃=0, означающее лин. зависимость всей системы а₁, а₂, а₃.

Возьмем определитель матрицы СЛАУ второго порядка, раскроем его и приравняем к 0. После этого, перенося слагаемое с отрицательным знаком в правую часть и записав результат в виде пропорции, увидим, что коэффициенты в СЛАУ пропорциональны, следовательно, векторы, имеющие координатами эти коэффициенты (то есть а=(а₁₁, а₁₂) и а=(а₂₁, а₂₂)), линейно зависимы

Если выполняется равенство ā = kb, значит, векторы пропорциональные и коллинеарные. Система векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда эти векторы коллинеарные.

21. Можно ли из линейно зависимой системы векторов выделить линейно независимую подсистему? Можно ли из линейно независимой системы векторов выделить линейно зависимую подсистему? Приведите примеры. Ответы обоснуйте.

Система, включающая вектор 0, линейно зависима.

Если среди векторов системы имеется нулевой вектор, то вся система линейно независима.

Если система { а₁,a₂…,a_s } линейно независима, но при добавле­нии к ней еще одного вектора а становится линейно зависимой, то вектор а линейно выражается через а₁,a₂…,a_s

Доказательство. По условию справедливо равенство вида

c₁a₁+c₂a₂+…+c_sa_s+са=0, где не все числа с₁,c₂,…c_s равны нулю. Нетрудно видеть, что именно с 0. В противном случае мы получили бы равенство c₁a₁+c₂a₂+…+c_sa_s = 0,

означающее линейную зависимость системы а₁,a₂…,a_s . Пользуясь тем, что с не=0, можно из равенства

(c₁a₁+c₂a₂+…+c_sa_s+са=0) выра­зить а через векторы а₁,a₂…,a_s.-

22. Дайте определение линейно зависимой системы векторов. Является ли линейно зависимой система векторов, если она содержит линейно зависимую подсистему?

Система векторов а₁, а₂ и а_m называется линейно зависимой, если существуют такие числа с₁, с₂, с_m (не равные нулю одновременно) и выполняется равенство:

с₁ā₁+с₂ā₂+...+с_mā_m =0.

Система векторов является линейно зависимой, если она содержит линейно зависимую подсистему согласно свойству линейно зависимых систем векторов: Если часть системы ЛЗ, то и вся система ЛЗ.

Доказательство. Пусть дана система из 3-х векторов ā₁,ā₂,ā₃, причем часть системы, состоящая из 2-х векто­ров ā₁,ā₂, ЛЗ, т.е. справедливо равенство с₂ ā₂+с₃ ā₃ =0, где с₂ или с₃≠0. Добавив к обеим частям вектор 0=0ā₁, 0ā₁+с₂ā₂+с₃ā₃ =0, т.е. означает ЛЗ всей системы ā₁,ā₂,ā₃

23. Дайте определение линейно независимой системы векторов. Докажите, что 3 ненулевые строки ступенчатой матрицы порядка 3 х 5 линейно независимы.

Если система векторов ā₁,ā₂,…,ā_m такова, что равенство с₁ā₁+с₂ā₂+...+с_mā_m =0 возможно только при с₁=c₂=,..,=с₃=0, то эта система называется линейно независимой.

Докажем, что любая ступенчатая система векторов линейно независима. Рассмотрим 3 ненулевые строки ступенчатой матрицы порядка 3 х 5.

k₁ā+k₂b+k₃ĉ+…=Ô

k₁a₁+k₂0+k₃0+…=0

k₁a₂+k₂b₂+k₃0+…=0

………………….

a₁,b₂,c₃,…≠0

след-но, k₁=k₂=…=0, в силу произвольности коэффициентов k данная сист. линейно независима.

27. Дайте опред. Общего решения неоднородной системы лин. Уравнений. При каких условиях множество решений системы лин. ур-й Ах=b образует лин. простр-во? Ответ обоснуйте.

Линейное уравнение называется однородным, если свободный член уравнения = 0. Система, состоящая из однородных уравнений, сама называется однородной.

Общее решение однородной системы линейных уравнений представляет собой линейно зависимые вектора.

Общее решение СЛАУ-все пространство решений однородной СЛАУ. Выразив базисные неизвестные через свободные, получается общее решение системы.