1. Економіка як об’єкт моделювання. Етапи економіко-математичного моделювання. Елементи класифікації економіко-математичних моделей.

2. Постановка та математична модель задачі лінійного програмування (ЗЛП). Стандартна форма ЗЛП. Форми запису ЗЛП.

3. Основні означення ЗЛП. Властивості множини планів ЗЛП. Основна теорема лінійного програмування.

4. Економічна постановка та математична модель задачі раціонального використання ресурсів.

5. Економічна постановка та математична модель задачі оптимального раціону харчування.

6. Геометрична інтерпретація ЗЛП. Графо-аналітичний метод розв’язування ЗЛП.

7. Симплексний метод. Основна ідея та алгоритм. Метод штучного базису (М-метод).

8. Поняття двоїстості. Основні теореми двоїстості та їх економічний смисл на прикладі задачі раціонального використання ресурсів.

9. Економіко-математичний аналіз оптимальних розв’язків прямої та двоїстої задач. Аналіз стійкості оптимального плану відносно обмежень по ресурсам.

10. Постановка та математична модель відкритих транспортних задач (ТЗ). Зведення їх до закритої ТЗ.

11. Постановка та математична модель закритої ТЗ. Теорема про існування розв’язку ТЗ.

12. Метод потенціалів розв’язування ТЗ. Випадки вироджених планів та неєдиного розв’язку.

13. Принципова схема міжгалузевого баланса (МГБ). Економіко-математична модель МГБ. Продуктивність моделі.

14. Характеристика основних параметрів МГБ.

15. Означення виробничої функції, її економічні та математичні властивості.

16. Макроекономічні виробничі функції. Функція Кобба-Дугласа та її економічні характеристики (показники).

1. Економіка як об’єкт моделювання. Етапи економіко-математичного моделювання. Елементи класифікації економіко-математичних моделей.

Основне призначення економіки - забезпечення суспільства предметами споживання і послугами, які створюють умови для життя і безпеки людини, сім'ї, суспільства, країни. У зв'язку з цим є сенс розглядати, досліджувати і моделювати соціально-економічні системи.

Розглянемо основні етапи економіко-математичного моделювання. Процес моделювання передбачає наявність трьох структурних елементів: об’єкта дослідження; суб’єкта (дослідник); моделі, яка опосередковує відносини між суб’єктом і об’єктом.

Побудова ЕММ у загальному випадку складається з розглянутих далі етапів.

1Постановка економічної проблеми та її якісний аналіз. На цьому етапі потрібно сформулювати сутність проблеми, визначити передумови й висловити припущення.

2Побудова математичної моделі. Цей етап полягає у формалізації економічної моделі, тобто вираженні її у вигляді кон-кретних математичних залежностей (функцій, рівнянь, нерівностей тощо).

3Математичний аналіз моделі. На цьому етапі суто математичними прийомами досліджують загальні властивості моделей та розв’язків.

4Підготовка вихідної інформації. В економічних задачах це, як правило, найбільш трудомісткий етап моделювання, оскільки тут замало самого лише пасивного збору даних.

5Чисельне моделювання. Цей етап передбачає розробку алгоритмів чисельного розв’язання задачі, підготовку комп’ютерних програм та безпосереднє виконання розрахунків.

6Аналіз чисельних результатів та їх застосування. На цьому етапі передусім з’ясовується найважливіше питання щодо правильності й повноти результатів моделювання та можливості їх практичного використання, а також досліджуються можливі напрямки подальшого вдосконалення моделі.

Економіко-математичні моделі класифікують за: 1) цільовим призначенням - теоретико-аналітичні та прикладні. Перші застосовують для дослідження загальних властивостей і закономірностей економічних процесів, а другі – при розв’язанні конкретних економічних проблем. 2) характером використання результатів дослідження - дискриптивні та нормативні моделі. Дискриптивні моделі відповідають на питання, як це відбувається або як це не може розвиватися далі. Нормативні моделі відповідають на питання, як це має бути, тобто передбачають цілеспрямовану діяльність.3)способом відбиття причинно-наслідкових зв’язків - детерміністські та стохастичні моделі, тобто такі, які враховують випадкові та невизначені чинники. 4)формою математичних залежностей - лінійні та нелінійні 5)типом використовуваних змінних - моделі з неперервними та дискретними змінними. 6) способом відбиття чинника часу - статичні та динамічні. Статистичні моделі нібито дають “фотографію” процесу на даний момент. Динамічні описують процес, що змінюється в часі, тобто в динаміці.

2. Постановка та математична модель задачі лінійного програмування (злп). Стандартна форма злп. Форми запису злп.

Якщо всі функції, що входять до математичної моделі, лінійні, то задача називається задачею лінійного програмування (ЗЛП)

Загальна модель задачі математичного програмування має такий вигляд:

У структурі моделі можна виділити 3 елементи:

1) Набір керованих змінних x1, x2, . x n, значення яких підлягають оптимізації. Різні допустимі комбінації значень змінних відповідають можливим розв’язкам задачі.

2) Цільова функція z (x1, x2, . x n) - функція, що виражає залежність прийнятого критерію оптимальності від керованих змінних.

Критерій оптимальності є мірою наближення розв’язку до поставленої мети. В економічних задачах, як правило, таким критерієм виступає показник ефективності функціонування системи (наприклад, прибуток від реалізації продукції, продуктивність праці, таке інше) або показник витрат. Слід зазначити, що одній меті можуть відповідати декілька критеріїв оптимальності (багатокритеріальна задача); в цьому разі цільова функція має враховувати всі виділені критерії.

3) Умови або обмеження g (x1, x2, . x n), що накладаються на значення змінних або на співвідношення між ними.

Загальний вигляд ЗЛП у розгорненій формі запису: (min);

ЗЛП, записана за допомогою знаків підсумовування, має вигляд Z=∑c_j * x_j(min)

Означення. ЗЛП називається заданою в стандартній формі кано­нічного вигляду, якщо виконуються такі умови:

1/ система основних обмежень подається рівняннями й усі вони лі­нійно незалежні;

2/ число рівнянь менше від числа змінних;

З/ розв’язується задача мінімізації цільової функції;

4/вільні члени - праві частини системи основних обмежень –невід’ємні;

5/ на всі змінні накладається умова невід’ємності.

Матрична форма запису ЗЛП. Позначимо: C=(C₁;C₂;…C_n)- матрицю-рядок коефіцієнтів при змінних у цільовій функції розмірності ; X - матрицю-стовпець, невідомих розмірності ; A=//a_ij//- матрицю системи основних обмежень розмірності ; A₀ - матрицю-стовпець вільних членів розмірності . Тоді ЗЛП у розгорненій формі запису можна записати так: Z=C*X(min); A*X=A₀ X≥0 Векторна форма запису ЗЛП.

Позначимо:

- n-вимірнмй вектор, компонентами якого є коефіцієнти при змінних цільової функції;

- n-вимірний вектор змінних;

- m-вимірниі вектори, компонентами яких є коефіцієнти при змінних у системі основних обмежень;

- m-вимірний вектор, компонентами якого є вільні члени системи основних обмежень.

Тоді ЗЛП можна записати у вигляді (min);

Тут позначає напівдодатність вектора , тобто те, що всі його компоненти невід’ємні.