Лебедев КММФЯ / modelirovanie_nanostruktur_2013

31

2.3. Моделирование движения электрона вблизи потенциальной

ступеньки

Рассмотрим модель рассеяния электрона на потенциальном рельефе,

описываемом следующим выражением:

0,	если z 0,
U z	(2.25)
U0	, если z 0,

и изображенном на рис. 2.6. Область 1 сформирована узкозонным мате-

риалом A, область 2 — широкозонным материалом B.

Рис. 2.6. Энергетическая диаграмма потенциальной ступеньки.

Будем считать, что источник электронов находится в области 1 и

бесконечно удален от границы раздела (интерфейса) между областями 1 и 2. Электроны движутся от источника в положительном направлении оси

Oz, обладая энергией E.

Решение уравнения Шредингера (2.1) с потенциалом вида (2.10) в

области 1 будет иметь вид:

							(z,E) A ej 1 z B e j 1z ,		(2.26)
					1		1	1
где	1			2m1E		, m – эффективная масса электрона в материале A. То
				2	1

32	Компьютерное моделирование микро и наноструктур

есть, 1 представляет собой суперпозицию падающей и отраженной волны де Бройля, A1 – амплитуда волны, распространяющейся от источника электронов к потенциальной ступеньке, B1 – амплитуда волны, отражен-

ной от потенциальной ступеньки.

Учитывая однородность среды в области 2 (по постановке задачи в области 2 нет источников электронов и нет неоднородностей, от которых они могли бы отразиться) и условие конечности волновой функции во всех точках пространства, в том числе и в точке z , решение уравнения Шредингера (2.1) с потенциалом вида (2.10) в области 2 можно записать в виде:

							2	(z,E) A ej 2 z ,	(2.27)
								2
	где 2			2m2(E U0)		, m2 – эффективная масса электрона в материале B.
				2

То есть, в области 2 имеет место только волна де Бройля, распространяю-

щаяся в положительном направлении оси Oz, A2 – амплитуда этой волны.

Коэффициенты A2 и B1 могут быть выражены через коэффициент

A1 с использованием граничных условий (2.2). Подставляя выражения

(2.11) и (2.12) в (2.2), получим:

A1 B1 A2,

, (2.28)

1A1 1B1 2B2,

откуда

B A	1		2		,	A A		2 1			.	(2.29)
1 1		1		2		2 1		1		2

Коэффициент A1 может быть найден из условия нормировки волно-

вой функции, которая имеет смысл вероятности. При изображении графи-

ков огибающих волновых функций его можно положить равным произ-

33

вольному числу, поскольку физический интерес представляет не амплиту-

да падающей электронной волны, а отношения амплитуд волн прошедших и отраженных к амплитуде волны падающей.

На рис. 2.7 представлены графики огибающих волновых функций для различных значений энергии электрона E вблизи интерфейса между областями 1 и 2, образованными материалами GaAs и Al0.4Ga0.6As соответ-

ственно.

Рис. 2.7. Графики огибающих волновых функций электрона вблизи потенциальной сту-

пеньки для различных значений энергии электрона, наложенные на потенциальный рельеф. Начала отсчета по оси ординат для графиков огибающих волновых функций совмещены с соответствующими значениями энергии на зонной диаграмме.

34	Компьютерное моделирование микро и наноструктур

Графики схематично наложены на зонную диаграмму гетероперехо-

да, при этом начала отсчета по оси ординат для графиков огибающих вол-

новых функций совмещены с соответствующими значениями энергии на зонной диаграмме. Такое представление результатов расчетов позволяет наглядно проиллюстрировать особенности интерференции электронных волн на границе раздела двух материалов при различных характерных зна-

чениях энергии электрона.

Физический интерес представляют коэффициенты отражения и про-

хождения, определяемые отношением плотностей потоков отраженных и прошедших через интерфейс электронов к плотности потока падающих на интерфейс электронов. Определим вектор плотности потока вероятности

J следующим образом (в нашем одномерном случае это будет скаляр):

		j			.
	J					(2.30)
			* *
		2m

Тогда коэффициент прохождения D и коэффициент отражения R оп-

ределяются следующим образом:

D lim

J

2

,

(2.31)

J1

z

R lim

J1

,

(2.32)

J1

z

где J1 – вектор плотности потока вероятности для электронов, падающих на границу раздела со стороны области 1, J1 – вектор плотности потока вероятности для электронов, отраженных от границы раздела обратно в область 1, J2 – вектор плотности потока вероятности для электронов,

прошедших через границу раздела в область 2. Следует отметить, что дан-

35

ная постановка задачи не предусматривает рекомбинацию (поглощение)

электронов как на границе между областями 1 и 2, так и в самих областях.

Подставляя выражения (2.11) и (2.12) в (2.13), получим:

J	1			A		2 , J	1			B		2 , J	2				A		2.	(2.33)
1	m			1		1	m			1		2	m	2			2
	1						1

Тогда выражения для коэффициентов прохождения и отражения от потенциальной ступеньки примут вид:

			2							m							A2					2
D						1																	,	(2.34)
			1						m2								A					2
																	1
										B		2
R										1								;						(2.35)
										A		2
										1

или, с учетом (2.0.),

D	m	4			1	2
	1								,	(2.36)
	m2			1		2		2

2

R 1 2 . (2.37)

1 2 2

Графики зависимости коэффициентов отражения и прохождения от

энергии электрона представлены на рис. 2.8.
Отметим, что в случае, когда энергия электрона									E U0 , величина
2 становится мнимой и функция								2 принимает вид спадающей экспо-
ненты:
						2	z,E A e z ,		(2.38)
								2
где j 2		2m2 U0	E
				.
		2

36	Компьютерное моделирование микро и наноструктур

Рис. 2.8. Зависимость коэффициентов отражения (кривая 1) и прохождения (кривая 2)

электронов через потенциальную ступеньку от энергии.

В этом случае, в соответствии с (2.13), поток частиц в области 2 от-

	сутствует (J2 0), а коэффициент отражения R		1	j			2
							1.
			1	j

Несмотря на это, в области 2 волновая функция отлична от нуля

(рис. 2.7), то есть имеется определенная, хотя и малая, вероятность того,

что электрон проникает под потенциальный барьер. Кроме того, когда энергия электрона E U0 , имеется конечная вероятность отражения час-

тицы от потенциального барьера.

Задания для компьютерного моделирования.

1.Рассмотреть структуру, представляющую собой интерфейс между двумя полубесконечными областями AlxGa1–xAs и GaAs для значения параметра x = 0,4.

2.Построить потенциальный профиль для электронов в рассматривае-

мой структуре, определить высоту потенциального барьера U0 , от-

считывая энергию от дна зоны проводимости GaAs.

37

3.Построить зависимости коэффициентов отражения и прохождения от энергии электрона в диапазоне от 0 до 3U0 .

4.Построить огибающие волновых функций вблизи интерфейса между областями 1 и 2 для различных значений энергии электрона и схема-

тически наложить их на потенциальный профиль структуры; проил-

люстрировать следующие факты:

1)при энергии электрона E U0 имеется конечная вероятность отражения частицы от потенциального барьера, то есть перед барьером есть встречный поток частиц;

2)при E U0 все частицы отражаются от потенциальной сту-

пеньки, то есть в области барьера поток частиц отсутствует;

3)имеется определенная вероятность проникновения частицы с энергией E U0 внутрь потенциального барьера.

5.Оценить эффективную глубину проникновения электрона под по-

тенциальный барьер, то есть глубину, на которой вероятность обна-

ружения электрона уменьшается в e раз.

Примечание: пример программы для среды MathCAD приведен в Приложении 4.

2.4. Моделирование движения электрона в слоистых

квантоворазмерных структурах

Как уже отмечалось, возможность формирования заданного энерге-

тического спектра электронов появляется в слоистых гетероструктурах. С

методами расчета энергетического спектра в таких структурах мы и позна-

комимся в данном параграфе.

38Компьютерное моделирование микро и наноструктур

2.4.1.Моделирование движения электрона через потенциальный барьер конечной толщины

Рассмотрим структуру, образованную тонким слоем широкозонного материала, заключенного между двумя практически полубесконечными областями узкозонного материала. Зонная диаграмма такой структуры изо-

бражена на рис. 2.9.

Рис. 2.9. Энергетическая диаграмма прямоугольного потенциального барьера.

Потенциальный рельеф для электрона в такой структуре можно за-

писать в виде:

Ec1,		если z 0,
	,	если 0 z a,	(2.39)
U z Ec2
	,	если z a,
Ec3

где a – толщина слоя широкозонного материала.

Как и в предыдущем случае будем считать, что источник электронов находится в области 1 и бесконечно удален от границы раздела между об-

ластями 1 и 2. Электроны движутся от источника в положительном на-

правлении оси Oz, обладая энергией E. Решения уравнения Шредингера в

39

областях 1, 2 и 3, в каждой из которых потенциал U z постоянен, можно

записать в виде, соответственно:

							1	(z,E) A ej 1 z	B e j 1z ,
								1	1
							2	(z,E) A ej 2 z B e j 2 z ,		(2.40)
								2	2
							3	(z,E) A ej 3 z	,
								3
	где i			2mi (E Eci )		, i 1, 2, 3, mi и Eci – эффективная масса и энергия
				2

дна зоны проводимости в i-ой области.

Коэффициенты B1, A2, B2 и A3 могут быть выражены через коэф-

фициент A1 с использованием граничных условий (2.2). Подставляя выра-

жения (2.14) в (2.2), получим:

											A1 B1 A2 B2 ,
															1				A B										2			A B											,
											m										1				1				m		2			2							2
															1																																								,											(2.41)
											A2ej 2 a B2e j 2 a A3ej 3a,
															2					A ej 2 a B											e j 2 a												3		A ej 3a,
																					2							2															m3					3
											m2
откуда
																									A			4		1				2			1			A ,																										(2.42)
																									3					m m					2								1
																															1
где
			1				2									2								3			j	3 2 a											1							2							2						3			j 3 2			a
																									e																																				e					,(2.43)
		m				m									m		2					m																m						m			2					m		2			m
			1					2																3															1																				3
и
			1								3				m		2						j				a													1										3		m		2				j					a
A2																								3		2		A3 ,						B2																										3	2			A3	, (2.44)
			2																																					2												m
					1						2				m					e																							1							2						e
																	3																																					3
																									B1 A2 B2													A1.																												(2.45)

40	Компьютерное моделирование микро и наноструктур

Коэффициенты прохождения и отражения от потенциального барье-

ра могут быть вычислены следующим образом с учетом выражений

(2.15)–(2.16):

								J	3																					m								A				2
D lim																						3						1										3					,	(2.46)
								J												1									m3									A			2
	z
									1
															J1																							1
																														B		2
R lim																													1										;					(2.47)
													J																	A		2
				z
																1														1

Графики огибающих волновых функций электрона в структуре

GaAs — Al0.3 Ga0.7 As — GaAs с толщиной среднего слоя в 20 атомных мо-

нослоёв (11.3 нм) для различных значений энергии электрона представле-

ны на рис. 2.10. Графики схематично наложены на зонную диаграмму ге-

тероструктуры, при этом начала отсчета по оси ординат для графиков оги-

бающих волновых функций совмещены с соответствующими значениями энергии на зонной диаграмме. Энергия электронов отсчитывается от сере-

дины запрещенной зоны узкозонного материала (GaAs). Тогда, поскольку середина запрещенной зоны в твердом растворе AlxGa1–xAs совпадает с се-

рединой запрещенной зоны GaAs, потенциальный профиль данной струк-

туры (она является симметричной) можно описать выражением:

Eg GaAs

, если

z

a

E

(z)

U z

g

2

.

(2.48)

2

Eg Al0.3Ga0.7As

,

если

z

a

2

Графики зависимости коэффициента прохождения от энергии элек-

трона для этой структуры представлен на рис. 2.11.