Лебедев КММФЯ / modelirovanie_nanostruktur_2013

51

2.Построить график зависимости коэффициента прохождения элек-

тронов через такую структуру от энергии электрона в диапазоне от

0.7 до 1.5 эВ.

3.Определить значение энергии резонансного туннелирования через структуру.

4.Построить огибающие волновых функций в гетероструктуре для раз-

личных значений энергии электрона, в том числе, для энергии резо-

нансного туннелирования, и схематически наложить эти графики на

потенциальный профиль структуры.

Примечание: пример программы для среды MathCAD приведен в Приложении 7.

2.4.4. Моделирование движения электрона через

трехбарьерную квантоворазмерную структуру

Аналогично, методом матриц переноса легко может быть проанали-

зирована и трехбарьерная (а, вообще говоря, и многобарьерная) структура.

Результаты расчета зависимости коэффициента прохождения от энергии электронов для трехбарьерной структуры представлены на рис. 2.16.

Рис. 2.16. Графики зависимости коэффициента прохождения от энергии электрона для

трехбарьерной квантоворазмерной гетероструктуры.

52	Компьютерное моделирование микро и наноструктур

Задания для компьютерного моделирования.

1.Рассмотреть гетероструктуру, состоящую из пяти нанослоёв:

1)Al0.3Ga0.7As (x = 0.3) толщиной 10 атомных монослоёв,

2)GaAs (x = 0.3) толщиной 10 атомных монослоёв,

3)Al0.3Ga0.7As (x = 0.3) толщиной 10 атомных монослоёв,

4)GaAs (x = 0.3) толщиной 10 атомных монослоёв,

5)Al0.3Ga0.7As (x = 0.3) толщиной 10 атомных монослоёв,

заключенную между полубесконечными областями GaAs.

2.Построить график зависимости коэффициента прохождения элек-

тронов через такую структуру от энергии электрона в диапазоне от

0.7 до 1.5 эВ.

3.Определить значения энергии резонансного туннелирования через структуру.

4.Построить огибающие волновых функций в гетероструктуре для раз-

личных значений энергии электрона, в том числе, для энергий резо-

нансного туннелирования, и схематически наложить эти графики на

потенциальный профиль структуры.

Примечание: пример программы для среды MathCAD приведен в Приложении 8.

2.4.5. Моделирование движения электрона при приложении

постоянного электрического поля в направлении,

перпендикулярном плоскостям слоёв

Очевидно, что при создании различных электронных приборов не-

обходимо реализовать управление энергетическим спектром электронов с помощью различного рода внешних воздействий. Наиболее часто для та-

кого управления используют электрическое поле.

При приложении электрического поля к многослойной гетерострук-

туре энергетические зоны искривляются и зависимость U z будет отли-

53

чаться от ступенчатой формы, изображенной, например, на рис. 2.17, а. В

простейшем случае однородного электрического поля, потенциал U z в

структуре с потенциальным барьером может быть представлен в виде

(рис. 2.17, б):

	Ec1,			если z 0,
				V
	U z Ec2				z,	если 0 z a,	(2.60)
				a
			,
	E	c3		если z a,

где a – ширина потенциального барьера, V – прикладываемая к барьеру разность потенциалов. В данной модели предполагается, что падение на-

пряжения полностью происходит в области барьера.

а

б

в

Рис. 2.17. Энергетическая диаграмма прямоугольного потенциального барьера (а),

при приложении к нему электрического поля (б) и представление потенциала в виде

ступенчатой функции (в).

Уравнение Шредингера (2.1) с потенциалом вида (2.23) является не-

однородным. Однако, разбивая рассматриваемую пространственную об-

ласть на N столь малых отрезков, что в каждом из них потенциал U z

можно считать неизменным, можно решать уравнение матричным мето-

54 Компьютерное моделирование микро и наноструктур

дом, заменяя кусочно-непрерывную функцию U z

(рис. 2.17, б) ступен-

чатой (рис. 2.17, в):

Ec1,

если z 0,

V

i

a

a

U z Ec2

,

если

i

z i 1

,i 0,1, N 1, (2.61)

a

N

N

N

,

E

c3

если z a,

Данный подход позволяет решать задачи о движении электрона че-

рез потенциальный рельеф произвольной формы, с одной стороны, не прибегая к численному решению краевой задачи (что является вычисли-

тельно ёмким процессом), а с другой стороны, получая достаточно строгое решение.

На рис. 2.18 представлен коэффициент прохождения электронов че-

рез потенциальный барьер при наличии (пунктирная линия) и отсутствии внешнего электрического поля. Как видно из рисунка, вероятность тунне-

лирования электрона при приложении электрического поля увеличивается,

что обусловлено уменьшением площади потенциального барьера.

Рис. 2.18. Коэффициент прохождения электронов через потенциальный барьер при на-

личии (пунктирная линия) и отсутствии внешнего электрического поля.

55

На рис. 2.18 представлен коэффициент прохождения электронов че-

рез двухбарьерную квантоворазмерную структуру при наличии (пунктир-

ная линия) и отсутствии внешнего электрического поля. Как видно из ри-

сункаэнергия резонансного тунелирования электрона при приложении электрического поля уменьшается.

Рис. . 2.19. Коэффициент прохождения электронов через ДБКС при наличии (пунктир-

ная линия) и отсутствии внешнего электрического поля

Задания для компьютерного моделирования.

1.Разработать программу для моделирования движения электрона в слоистых гетероструктурах при приложении постоянного электриче-

ского поля в направлении, перпендикулярном плоскостям слоёв.

2.Исследовать изменение графиков огибающих волновых функций и коэффициента прохождения электронов в одно-, двух- и трехбарьер-

ной структурах при увеличении приложенного к структуре постоян-

ного электрического поля.

3.Провести сравнение результатов расчетов, проведенных с использо-

ванием предложенного метода при отсутствии внешнего электриче-

56	Компьютерное моделирование микро и наноструктур

ского поля, с ранее полученными результатами. Сделать вывод о максимально допустимом шаге разбиения вдоль оси координат, пер-

пендикулярной плоскостям слоёв.

Примечание: пример программы для среды MathCAD для моделирования движения электрона вблизи потенциального барьера при приложении постоянного электрического поля приведен в Приложении 9.

57

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В учебном пособии описаны методики расчета квантоворазмерных структур и приведены примеры их реализации в математическом пакете

MathCAD. Также, показано, как с помощью данного пакета можно нагляд-

но проиллюстрировать известные теоретические факты из физики рас-

сматриваемых структур. Хочется надеяться, что данное учебное пособие поможет читателю в разработке компьютерных программ, моделирующих и иллюстрирующих рассматриваемые физические процессы и явления.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.Келдыш Л.В. О влиянии ультразвука на электронный спектр кристалла

// ФТТ. 1962. Т. 4. С. 2265–2267.

2.Esaki L., Tsu R. Superlattice and negative differential conductivity in semiconductors // IBM J. Res. Develop. 1970. Vol. 14. P. 61–65.

3.Esaki L. A superlattice — periodic array of heterojunctions // Proc. of Intern. Conf. on Phys. and Chem. of Semiconductor. — Budapest, 1970. Vol. 1. P. 13–24.

4.Драгунов В.П., Неизвестный И.Г., Гридчин В.А. Основы наноэлектро-

ники: Учебное пособие. – М.: Университетская книга; Логос; Физмат-

книга, 2006. – 496 с.

5.Physics of Quantum Electron Devices / Ed. By F. Capasso. Berlin: Springer, 1990.

6.Brown E.R. Resonant tunneling in high-speed double-barrier diodes // Hot Electrons in Semiconductor Heterostructures / Ed. By J.Shah. Boston: Academic Press, 1991.

7.Ozbay E., Bloom D.M., Diamond S.K. Resonant tunneling in Semiconductors: Physics and Applications. New York: Plenum, 1991.

8.Тагер А.С. Размерные квантовые эффекты в субмикронных полупро-

водниковых структурах и перспектива их применения в электронике

Список литературы

59

СВЧ. Ч. I. Физические основы // Электронная техника. Сер. 1. Электро-

ника СВЧ. 1987. Вып. 9 (403). С. 21–34.

9.Тагер А.С. Размерные квантовые эффекты в субмикронных полупро-

водниковых структурах и перспектива их применения в электронике СВЧ. Ч. I. Резонансно-туннельные диоды и транзисторы // Электронная

техника. Сер. 1. Электроника СВЧ. 1988. Вып. 2 (406). С. 17–33. 10.Иогансен Л.В. О возможности резонансного прохождения электронов в

кристаллах через систему барьеров // ЖЭТФ. 1963. Т. 45. С. 207–218. 11.Иогансен Л.В. О резонансном туннелировании электронов в кристаллах

// ЖЭТФ. 1964. Т. 47. С. 270–277.

12.Иогансен Л.В. Тонкопленочные электронные интерферометры // УФН. 1965. Т. 86. С. 175–179.

13.Tsu R., Esaki L. Tunneling in a finite superlattice // Appl.Phys. Lett. 1973. Vol. 22, no. 11. P. 562–564.

14.Chang L., Eski L., Tsu R. Resonant tunneling in semiconductors double barrier // Appl. Phys. Lett. 1974. Vol. 24, no. 12. P. 593–595.

15.Блэкмор Дж. Физика твердого тела. М.: Мир, 1988. 608 с.

16.Анималу А. Квантовая теория кристаллических твердых тел. М.: Мир, 1981. 574 с.

17.Китель Ч. Введение в физику твердого тела. М.: Наука, 1978. 792 с. 18.Ашкрофт Н., Мермин Н. Физика твердого тела. М.: Мир, 1979. Ч. 1.

399 с. Ч. 2. 422 с.

19.Баранов Л.И. Элементы теории полупроводников. Саратов: Изд-во Са-

рат. ун-та, 1976. 69 с.

20.Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). – М.: «Наука», 1973.

ПРИЛОЖЕНИЯ

Приложение 1. Программа для моделирования энергетического спектра электрона в твердом теле

Функция S для заданного значения параметра P отрисовывается на графике красной линией. Для задания горизонтальных ограничивающих линий введены функции b1 1 и b2 1. Для отрисовки разрешенных зон введены функции f1 и f2 и используется тип графика «solidbar»: