- •1. Понятие двумерной (n-мерной) случайной величины. Примеры.
- •2. Функция распределения и плотность вероятности 2-мерной случайной величины, их свойства, примеры.
- •3.Числовые характеристики 2-мерной случайной величины и свойства этих характеристик. Примеры.
- •4. Зависимые и независимые случайные величины. Ковариация и коэффициент корреляции случайных величин. Связь между некоррелированностью и независимостью случайных величин.
- •5. Вариационный ряд, его разновидности. Средняя арифметическая и дисперсия ряда. Эмпирическая функция распределения. Полигон и гистограмма.
- •6. Генеральная совокупность. Выборки и способы их получения. Репрезентативная выборка.
- •7. Точечные статистические оценки неизвестных параметров генеральной совокупности и их свойства: несмещенность, состоятельность, эффективность.
- •8. Метод наибольшего (максимального) правдоподобия, алгоритм нахождения точечной оценки с его помощью.
- •9. Выборочная средняя как точечная оценка генеральной средней, ее несмещенность и состоятельность.
- •10. Выборочная дисперсия как точечная оценка генеральной дисперсии, ее смещенность и состоятельность. Несмещенная оценка генеральной дисперсии.
- •12. Интервальная оценка мат. Ожидания нормально распределенного признака при известном среднем квадратическом отклонении.
- •13. Определение необходимого объёма повторной и бесповторной выборок при оценке генеральной средней.
- •14. Статистическая проверка статистических гипотез. Виды гипотез, ошибки первого и второго рода. Критическая область и область принятия гипотезы, определения, примеры.
- •Сравнение двух дисперсий нормальных генеральных совокупностей
- •16. Сравнение исправленной выборочной дисперсии с гипотетической дисперсией нормальной совокупности (распределение «хи-квадрат»).
- •17. Сравнение двух средних нормальных генеральных совокупностей, дисперсии которых неизвестны и одинаковы.
- •18. Функциональная, статистическая и корреляционная зависимости. Различия между ними. Основные задачи теории корреляции.
- •19. Линейная парная регрессия. Система нормальных уравнений для определения параметров прямых регрессий. Выборочная ковариация.
- •20. Оценка тесноты связи. Выборочный коэффициент корреляции и его свойства.
-
Сравнение двух дисперсий нормальных генеральных совокупностей
Пусть имеются две выборки объемов п1 и п2, извлеченные из нормально распределенных генеральных совокупностей Х и Y. Требуется по исправлен-ным выборочным дисперсиям ипроверить нулевую гипотезу о равен-стве генеральных дисперсий рассматриваемых генеральных совокупностей:
Ho: D (X) = D (Y).
Критерием служит случайная величина отношение большей исправленной дисперсии к меньшей, которая при условии справедливости нулевой гипотезы имеет распределение Фишера-Снедекора со степенями свободыk1 = n1 – 1 и k2 = n2 – 1. Критическая область зависит от вида конку-рирующей гипотезы:
-
если H1: D (X) > D (Y), то критическая область правосторонняя:
Критическая точка находится по таблице критических точек распределения Фишера-Снедекора. Еслинулевая гипотеза принимается, в противном случае – отвергается.
2) При конкурирующей гипотезе H1: D (X) ≠ D (Y) критическая область двусторонняя: При этом достаточно найтиТогда, еслинет оснований отвергнуть нулевую гипотезу, еслинулевую гипотезу отвергают.
Пример 6. Даны две независимые выборки объемов п1 = 10 и п2 = 15, извле-ченные из генеральных совокупностей Х и Y, распределенных по нормаль-ному закону. Найдены исправленные выборочные дисперсии иПроверим при уровне значимостиα = 0,05 нулевую гипотезу о равенстве генеральных дисперсий при конкурирующей гипотезе H1: D (X)> D (Y).
Решение.
Найдем значение Критическая область – правосто-
ронняя. Вычислим наблюдаемое значение критерия:
Следовательно, нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.
16. Сравнение исправленной выборочной дисперсии с гипотетической дисперсией нормальной совокупности (распределение «хи-квадрат»).
Пусть генеральная совокупность распределена нормально, причем генеральная дисперсия хотя и неизвестна, но имеются основания предполагать, что она равна гипотетическому (предполагаемому) значению σ20. На практике σ20 устанавливается на основании предшествующего опыта или теоретически.
Пусть из генеральной совокупности извлечена выборка объема n и по ней найдена исправленная выборочная дисперсия S2 с k=n—1 степенями свободы. Требуется по исправленной дисперсии при заданном уровне значимости проверить нулевую гипотезу, состоящую в том, что генеральная дисперсия рассматриваемой совокупности равна гипотетическому значению σ20.
Учитывая, что S2 является несмещенной оценкой генеральной дисперсии, нулевую гипотезу можно записать так:
H0:М(S2)= σ20.
Итак, требуется проверить, что математическое ожидание исправленной дисперсии равно гипотетическому значению генеральной дисперсии. Другими словами, требуется установить, значимо или незначимо различаются исправленная выборочная и гипотетическая генеральная дисперсии.
На практике рассматриваемая гипотеза проверяется, если нужно проверить точность приборов, инструментов, станков, методов исследования и устойчивость технологических процессов. Например, если известна допустимая характеристика рассеяния контролируемого размера деталей, изготавливаемых станком-автоматом, равная σ20, а найденная по выборке окажется значимо больше σ20, то станок требует подналадки.
В качестве критерия проверки нулевой гипотезы примем случайную величину (n—1)S2/ σ20. Эта величина случайная, потому что в разных опытах S2 принимает различные, наперед неизвестные значения. Поскольку можно доказать, что она имеет распределение χ2 с k=n—1 степенями свободы (см. гл. XII, § 13), обозначим ее через χ2.
Итак, критерий проверки нулевой гипотезы
Χ2=(n - 1)S2/ σ20.
Критическая область строится в зависимости от вида конкурирующей гипотезы.
Первый случай. Нулевая гипотеза Н0: σ2 = σ20. Конкурирующая гипотеза Н1: σ2 > σ20.
В этом случае строят правостороннюю критическую область, исходя из требования, чтобы вероятность попадания критерия в эту область в предположении справедливости нулевой гипотезы была равна принятому уровню значимости:
Р[χ2> χ2кр(α,k)]=α.
Критическую точку χ2кр(α,k) находят по таблице критических точек распределения χ2 (см. приложение 5), и тогда правосторонняя критическая область определяется неравенством χ2 > χ2кр, а область принятия нулевой гипотезы — неравенством χ2 < χ2кр.
Обозначим значение критерия, вычисленное по данным наблюдений, через χ2набл и сформулируем правило проверки нулевой гипотезы.
Правило 1. Для того чтобы при заданном уровне значимости α проверить нулевую гипотезу Н0: σ2 = σ20 о равенстве неизвестной генеральной дисперсии нормальной совокупности гипотетическому значению при конкурирующей гипотезе Н1: σ2 > σ20, надо вычислить наблюдаемое значение критерия χ2набл=(n - 1)S2/ σ20 и по таблице критических точек распределения χ2, по заданному уровню значимости α и числу степеней свободы k = n—1 найти критическую точку χ2кр(α,k).
Если χ2набл < χ2кр —нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если χ2набл > χ2кр —нулевую гипотезу отвергают.
Пример 1. Из нормальной генеральной совокупности извлечена выборка объема n=13 и по ней найдена исправленная выборочная дисперсия s2= 14,6. Требуется при уровне значимости 0,01 проверить нулевую гипотезу Н0: σ2 = σ20 = 12, приняв в качестве конкурирующей гипотезы Н1: σ2 > 12.
Решение. Найдем наблюденное значение критерия:
χ2набл=(n - 1)S2/ σ20 = ((13-1)·14,6)/12=14,6.
По условию, конкурирующая гипотеза имеет видσ2 > 12, поэтому критическая область правосторонняя.
По таблице приложения 5, по уровню значимости 0,01 и числу степеней свободы k = n— 1 == 13— 1 == 12 находим критическую точку χ2кр (0,01; 12) =26,2.
Так как χ2набл < χ2кр —нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Другими словами, различие между исправленной дисперсией (14,6) и гипотетической генеральной дисперсией (12) — незначимое.
Второй случай. Нулевая гипотеза Н0: σ2 = σ20. Конкурирующая гипотеза Н1: σ2 ≠ σ20.
В этом случае строят двустороннюю критическую область, исходя из требования, чтобы вероятность попадания критерия в эту область в предположении справедливости нулевой гипотезы была равна принятому уровню значимости α.
Критические точки—левую и правую границы критической области—находят, требуя, чтобы вероятность попадания критерия в каждой из двух интервалов критической области была равна α/2:
P[ χ2 < χ2лев.кр(α/2,k) ]=α/2,
P[ χ2 > χ2лев.кр(α/2,k) ]=α/2.
В таблице критических точек распределения χ2 указаны лишь «правые» критические точки, поэтому возникает кажущееся затруднение в отыскании «левой» критической точки. Это затруднение легко преодолеть, если принять во внимание, что события χ2 < χ2лев.кр и χ2 > χ2лев.кр противоположны и, следовательно, сумма их вероятностей равна единице:
Р (χ2 < χ2лев.кр) + Р (χ2 > χ2лев.кр) =1.
Отсюда
Р (χ2 < χ2лев.кр) =1- Р (χ2 > χ2лев.кр) =1-(α/2).
Мы видим, что левую критическую точку можно искать как правую (и значит, ее можно найти по таблице), исходя из требования, чтобы вероятность попадания критерия в интервал, расположенный правее этой точки, была равна 1—(α/2).
Правило 2. Для того чтобы при заданном уровне значимости а проверить нулевую гипотезу о равенстве неизвестной генеральной дисперсии σ2 нормальной совокупности гипотетическому значению σ20 при конкурирующей гипотезе Н1: σ2 ≠ σ20 надо вычислить наблюдаемое значение критерия χ2набл=(n - 1)S2/ σ20 и по таблице найти левую критическую точку χ2кр (1—α/2; k) и правую критическую точку χ2кр (α/2;k).
Если χ2лев.кр < χ2набл < χ2прав.кр — нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.
Если χ2набл < χ2лев.кр или χ2набл > χ2прав.кр — нулевую гипотезу отвергают.
Пример 2. Из нормальной генеральной совокупности извлечена выборка объема n=13 и по ней найдена исправленная выборочная дисперсия s2=10,3. Требуется при уровне значимости 0,02 проверить нулевую гипотезу Н0: σ2 = σ20 = 12, приняв в качестве конкурирующей гипотезы Н1: σ2 ≠ 12.
Решение. Найдем наблюдавшееся значение критерия:
χ2набл=(n - 1)S2/ σ20 = ((13-1)·10,3)/12= 10,3.
Так как конкурирующая гипотеза имеет вид σ2 ≠ 12, то критическая область — двусторонняя.
По таблице приложения 5 находим критические точки: левую — χ2кр (1—α/2; k) = χ2кр (1-0,02/2; 12) = χ2кр (0,99; 12) =3,57 и правую - χ2кр (α/2; k) = χ2кр (0,01; 12)=26,2. Так как наблюдавшееся значение критерия принадлежит области принятия гипотезы (3,57 < 10,3 < 26,2)—нет оснований ее отвергнуть. Другими словами, исправленная выборочная дисперсия (10,3) незначимо отличается от гипотетической генеральной дисперсии (12).
Третий случай. Конкурирующая гипотеза Н1: σ2 < σ20.
Правило 3. При конкурирующей гипотезе Н1: σ2 < σ20 находят критическую точку χ2кр (1—α; k).
Если χ2набл > χ2кр (1—α; k)—нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.
Если χ2набл < χ2кр (1—α; k)—нулевую гипотезу отвергают.
Замечание 1. В случае, если найдена выборочная дисперсия Dв, в качестве критерия принимают случайную величину χ2 =Dв/ σ20, которая имеет распределение χ2 с k=n—1 степенями свободы, либо переходят к s2 = [n/(n— 1)] Dв.
Замечание 2. Если число степеней свободы k > 30, то критическую точку можно найти приближенно по равенству Уилсона – Гилферти
.
где zα определяют, используя функцию Лапласа (см. приложение 2), по равенству Ф(zα)=(1—2α)/2.