- •1. Понятие двумерной (n-мерной) случайной величины. Примеры.
- •2. Функция распределения и плотность вероятности 2-мерной случайной величины, их свойства, примеры.
- •3.Числовые характеристики 2-мерной случайной величины и свойства этих характеристик. Примеры.
- •4. Зависимые и независимые случайные величины. Ковариация и коэффициент корреляции случайных величин. Связь между некоррелированностью и независимостью случайных величин.
- •5. Вариационный ряд, его разновидности. Средняя арифметическая и дисперсия ряда. Эмпирическая функция распределения. Полигон и гистограмма.
- •6. Генеральная совокупность. Выборки и способы их получения. Репрезентативная выборка.
- •7. Точечные статистические оценки неизвестных параметров генеральной совокупности и их свойства: несмещенность, состоятельность, эффективность.
- •8. Метод наибольшего (максимального) правдоподобия, алгоритм нахождения точечной оценки с его помощью.
- •9. Выборочная средняя как точечная оценка генеральной средней, ее несмещенность и состоятельность.
- •10. Выборочная дисперсия как точечная оценка генеральной дисперсии, ее смещенность и состоятельность. Несмещенная оценка генеральной дисперсии.
- •12. Интервальная оценка мат. Ожидания нормально распределенного признака при известном среднем квадратическом отклонении.
- •13. Определение необходимого объёма повторной и бесповторной выборок при оценке генеральной средней.
- •14. Статистическая проверка статистических гипотез. Виды гипотез, ошибки первого и второго рода. Критическая область и область принятия гипотезы, определения, примеры.
- •Сравнение двух дисперсий нормальных генеральных совокупностей
- •16. Сравнение исправленной выборочной дисперсии с гипотетической дисперсией нормальной совокупности (распределение «хи-квадрат»).
- •17. Сравнение двух средних нормальных генеральных совокупностей, дисперсии которых неизвестны и одинаковы.
- •18. Функциональная, статистическая и корреляционная зависимости. Различия между ними. Основные задачи теории корреляции.
- •19. Линейная парная регрессия. Система нормальных уравнений для определения параметров прямых регрессий. Выборочная ковариация.
- •20. Оценка тесноты связи. Выборочный коэффициент корреляции и его свойства.
5. Вариационный ряд, его разновидности. Средняя арифметическая и дисперсия ряда. Эмпирическая функция распределения. Полигон и гистограмма.
Вариационным рядом называется ранжированный в порядке возрастания (или убывания) ряд вариантов с соответствующими им весами (частотами или частостями).
При изучении вариационных рядов наряду с понятием частоты используется понятие накопленной частоты (обозначаем ). Накопленная частота показывает, ск-ко наблюдалось вариантов со значением признака, меньшим х. Отношение на копленной частоты к общему числу наблюдений n назовемнакопленной частостью .
Накопленные частоты (частости) для каждого интервала находятся последовательным суммированием частот (частостей) всех предшествующих интервалов, включая данный.
Для задания вариационного ряда достаточно указать варианты и соответствующие им частоты (частости) или накопленные частоты (частости).
Вариационный ряд называется дискретным, если любые его варианты отличаются на постоянную величину, и - непрерывным (интервальными), если варианты могут отличаться один от другого на сколь угодно малую величину.
Для графического изображения вариационных рядов наиболее часто используются полигон, гистограмма, кумулятивная кривая:
Полигон, как правило, служит для изображения дискретного вариационного ряда и представляет собой ломаную, в которой концы отрезков прямой имеют координаты (), i = 1, 2,..., m.
Гистограмма служит только для изображения интервальных вариационных рядов и представляет собой ступенчатую фигуру из прямоугольников с основаниями, равными интервалам значений признака , i = 1, 2, ...,m, и высотами, равными частотам (частостям) () интервалов. Если соединить середины верхних оснований прямоугольников отрезками прямой, то можно получить полигон того же распределения.
Кумулятивная кривая (кумулята) - кривая накопленных частот (частостей). Для дискретного ряда кумулята представляет ломаную, соединяющую точки (,) или (,), i = 1, 2, ..., m. Для интервального вариационного ряда ломаная начинается с точки, абсцисса к-ой равна началу первого интервала, а ордината - накопленной частоте (частости), равной нулю. Другие точки этой ломаной соответствуют концам интервалов.
Эмпирической функцией pacпpeдeлeнuя называется относительная частота (частость) того, что признак (случайная величина х) примет значение, меньшее заданного х, т.е.
Другими словами, для данного х эмпирическая функция распределения представляет накопленную частость: .
Вариационный ряд является статистическим аналогом (реализацией) распределения признака (случайной величины Х).
Вариационный ряд содержит достаточно полную информацию об изменчивости (вариации) признака. Однако обилие числовых данных, с помощью которых он задается, усложняет их использование. В то же время на практике часто оказывается достаточным знание лишь сводных характеристик вариационных рядов: средних или характеристик центральной тенденции; характеристик изменчивости (вариации) и др.
Средней арифметической вариационного ряда называется сумма произведений всех вариантов на соответствующие частоты, деленная на сумму частот:
где - варианты дискретного ряда или середины интервалов интервального вариационного ряда;- соответствующие им частоты;m - число неповторяющихся вариантов или число интервалов; .
Очевидно, что , где- частости вариантов или интервалов.
Основные свойства средней арифметической.
1. Средняя арифметическая постоянной равна самой постоянной.
2. Если все варианты увеличить (уменьшить) в одно и то же число раз, то средняя арифметическая увеличится (уменьшится) во столько же раз:
.
3. Если все варианты увеличить (уменьшить) на одно и то же число, то средняя арифметическая увеличится (уменьшится) на то же число:
.
4. Средняя арифметическая отклонений вариантов от средней арифметической равна нулю:
.
5. Средняя арифметическая алгебраической суммы нескольких признаков равна такой же сумме средних арифметических этих признаков:
.
6. Если ряд состоит из нескольких групп, общая средняя равна средней арифметической групповых средних, причем весами являются объемы групп:
где - общая средняя (средняя арифметическая всего ряда);- групповая средняя i-й группы, объем которой равен;l - число групп.
Дисперсией вариационного ряда называется средняя арифметическая квадратов отклонений вариантов от их средней арифметической:
.
Формулу для дисперсии вариационного ряда можно записать в виде:
где .
Для несгруппированного ряда :.
Дисперсию часто называют эмпирической или выборочной, подчеркивая, что она (в отличие от дисперсии СВ) находится по опытным или статистическим данным.
Вычисление средней арифметической и дисперсиивариационного ряда можно упростить, если использовать не первоначальные варианты(i = 1, 2, ..., m), а новые варианты:
, (1)
где с и k - специально подобранные постоянные.
Согласно свойствам 2 и 3 средней арифметической и дисперсии:
, (2)
, (3)
Откуда
(4)
. (5)
Затем, получим (6)
Теперь, заменяя в (4) и (5) иих выражениямиичерез варианты, получим
, (7)
, (8)
где определяются по (1).
Формулы (7) и (8) дадут заметное упрощение расчетов, если в качестве постоянной k взять величину (ширину) интервала по x, а в качестве с - середину серединного интервала. Если серединных интервалов два (при четном числе интервалов), то в качестве с рекомендуется взять середину одного из этих интервалов, например, имеющего большую частоту.