Раздел 2
-
Векторы: основные понятия (коллинеарные, компланарные, равные). Линейные операции над векторами.
Вектором называется направленный прямолинейный отрезок.
Два вектора и называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.
Три и более векторов называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях.
Вектора называются равными, если они имеют одинаковую длину, лежат на параллельных прямых или на одной прямой, и заданы в одном направлении.
Линейные операции над векторами:
- Сложение векторов;
- Произведение вектора на число.
-
Проекция вектора на ось. Основные свойства проекции вектора на ось.
Проекция вектора на ось – это вектор, началом и концом которого являются соответственно проекции начала и конца заданного вектора.
Свойства:
- Проекция на ось суммы векторов равна сумме проекций этих векторов;
- Проекция произведения вектора на число равна произведению этого числа на проекцию вектора.
-
Линейная зависимость и независимость системы векторов. Базис. Разложение вектора по базису.
Векторы называются линейно независимыми, если только их тривиальная линейная комбинация равна нулевому вектору.
Векторы называются линейно зависимыми, если хотя бы одна их нетривиальная линейная комбинация равна нулевому вектору.
Базис – упорядоченный набор векторов в векторном пространстве.
Равенство
принято называть разложением
вектора d
по базису A,
B,
C,
а числа α, β, γ – координаты вектора d
относительно базиса A,
B,
C.
-
Прямоугольная декартова система координат. Координаты вектора. Теорема о линейных операциях над векторами в координатах. Направляющие косинусы вектора.
Прямоугольная декартова система координат – это система координат на плоскости или в пространстве, которая содержит перпендикулярные прямые одинакового масштаба.
Прямоугольная декартова система координат на плоскости имеет две оси, а прямоугольная декартова система координат в пространстве - три оси.
Координаты вектора — это числа, которые описывают расположение вектора в координатной плоскости.
Теоремы: Координаты суммы векторов равны сумме соответствующих координат слагаемых; координаты произведения вектора на число равны произведению соответствующих координат на это число.
Если векторы и коллинеарны, то их соответствующие координаты пропорциональны. Если ненулевые векторы и взаимно перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю, и наоборот, если скалярное произведение векторов равно нулю, то векторы перпендикулярны.
Направляющие косинусы вектора – это косинусы углов, которые вектор образует с положительными полуосями координат.
-
Длина вектора, ее свойства. Аналитическое условие коллинеарности векторов.
Отрезок, соединяющий начало и конец вектора называется длиной вектора.
Свойства:
-
;
-
;
-
-
Два ненулевых вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно нулевому вектору.
-
Скалярное произведение векторов, свойства. Теорема о скалярном произведении в координатах.
Скалярное произведение векторов называется число, равное произведению двух длин этих векторов на косинус угла между ними.
Свойства:
-
-
-
-
-
если угол между векторами: - острый, то
-
тупой, то
Теорема. Скалярное произведение равно сумме произведений одноименных координат.
-
Векторное произведение векторов, свойства. Теорема о векторном произведении в координатах.
Векторным произведением векторов a и b называется вектор c, удовлетворяющий следующим условиям: вектор c⊥a и b, длина вектора c равна произведению длин этих векторов на синус угла между ними, вектор c направлен так, что из его конца кратчайший поворот от вектора a к вектору b виден против часовой стрелки.