МИНОБРНАУКИ РОССИИ

Санкт-Петербургский государственный

электротехнический университет

«ЛЭТИ» им. В.И. Ульянова (Ленина)

Кафедра КСУ

Курсовая РАБОТА

по дисциплине «Проектирование оптимальных систем управления»

ВАРИАНТ №1

Санкт-Петербург

2018

Цель работы: Курсовой расчёт предназначен для ознакомления с процессом проектирования алгоритма управления динамическим объектом на примере водоизмещающего судна.

Как известно проектирование алгоритма управления состоит из следующих этапов:

- математическое описание объекта управления

- математическая формулировка цели управления

- выбор метода решения поставленной оптимизационной задачи

- оценка вариантов решения задачи

Исходные данные представлены в таблицах 1-2.

Таблица 1 – Вариант курсового расчета

Задание курсового расчета	Параметры математической модели судна	Косвенный метод решения задачи оптимизации
1	1	Минимизация квадратичного функционала

Таблица 2 – Характеристики судна

Параметр	Обозначение	Вариант судна
Скорость хода	, м/сек	2.57
Длина по ватерлинии	, м	99.6
Коэффициенты математической модели		-0.59
		6.16
		0.8
		-7.23
		-0.34
		-3.5

Описание объекта управления: Динамика судна, как и любого физического тела, подчиняется второму закону Ньютона. Силы и моменты, действующие на судно, в свою очередь, описываются законами гидродинамики. Соотношения между кинематическими параметрами движения ( - угол рыскания, - угловая скорость рыскания, - угол дрейфа, - угол перекладки руля) показаны на рисунке 1.

Рисунок 1 – соотношения между кинематическими параметрами движения

В общем случае, зависимость сил и моментов, действующих на судно от параметров движения, носит нелинейный характер. Однако, предположение о малых значениях угла дрейфа и угловой скорости рыскания и постоянстве линейной скорости движения судна позволяют линеаризовать эти зависимости и описать динамику в виде системы линейных дифференциальных уравнений относительно углов рыскания, дрейфа, угловой скорости рыскания, угла перекладки руля и одного нелинейного соотношения, отражающего тот факт, что руль не может поворачиваться на произвольный угол при произвольном сигнале управления. Для большинства современных судов максимальный угол перекладки руля равен 35°. Упомянутые соотношения, записанные относительно нормированного времени , имеют вид:

(1)

где: - относительная скорость рыскания; - угол дрейфа; - угол перекладки руля.

При записи системы (1), кроме предположений о малости углов не учитывалось действие на судно ветро-волновых возмущений. т.е. математическая модель (1) соответствует движению судна на тихой воде.

Математическая модель судна в натуральном времени записывается в виде:

(2)

Соотношение между параметрами (1) и (2) имеет вид:

(3)

Значение нормирующей частоты .

Математическая модель судна с численными значениями, полученными с использованием данных таблицы 2:

В дальнейшем x₁ будет соответствовать угловой скорости рыскания , x₂ – углу дрейфа , а х₃ – углу рыскания.

Математическая формулировка цели управления

При выполнении настоящей курсовой работы требуется спроектировать алгоритм управления рулем судна, который обеспечивает минимальное время устранения начального значения угла рыскания равного 10°.

Выбор метода решения оптимизационной задачи

В рамках настоящего курсового расчета студентам предлагается выполнить проектирование алгоритма управления тремя методами:

Прямые методы:

• метод, основанный на теореме об N интервалах

• метод параметрической оптимизации линейного закона управления

Косвенный метод:

• Минимизация интегрального квадратичного функционала

Проектирование алгоритма управление методом, основанном на теореме об n интервалах.

Метод, основанный на теореме об N интервалах заключается в определении N-1 момента переключения знака управляющего воздействия и момента выключения управления, таких, которые обеспечивают перевод судна из начального состояния , , в конечное состояние , , к моменту времени выключения управления, где N - порядок дифференциального уравнения (или системы уравнений), описывающего объект управления.

Собственными числами матрицы А являются корни характеристического полинома:

Характеристический полином имеет следующие корни: .

В рассматриваемом случае теорема об N интервалах применима, т.к. система уравнений, описывающих судно, имеет вещественные корни.

Задачу определения моментов переключения и момента выключения предлагается решать поисковым методом, используя функцию FMINSEARCH из пакета MATLAB или графическим методом с использованием построения фазовых траекторий в обратном времени. Требуется найти такие значения параметров , и , где и - моменты переключения знака управляющего воздействия, а - момент выключения управления, при которых расстояние между изображающей точкой, соответствующей моменту и требуемым конечным состоянием объекта, было бы минимальным.

Файл Main1.m

global a11 a12 a21 a22 b11 b21 Um

%параметры математической модели судна

V0=2,57;

L=99.6;

r21=-0.58;

r31=6.16;

q21=0.8;

q31=-7.23;

s21=-0.34;

s31=-3.5;

% Вычисление коэффициентов

Omega=V0/L; %Нормирующая частота

a11=-r31*Omega;

a12=-q31*Omega^2;

a21=-r21;

a22=-q21*Omega;

b11=-s31*Omega^2;

b21=-s21*Omega;

p=[1 0.139 -0.00598 0];

r=roots(p); %вычисление корней характеристического полинома

Um=35*pi/180;

fi=10*pi/180;

tlp=10;

[t,x]=ode23s('odefun1',[0 tlp],[0 0 0]);

plot(x(:,1),x(:,2),'r')

hold on

global t1 t2 T

t1=26.75;

t2=55.64;

T=65.5;

[t,x]=ode23s('odefun2',[0 T],[0 0 fi]);

x(length(t),1)

x(length(t),2)

x(length(t),3)

plot(x(:,1),x(:,2),'b')

grid on

Файл odefun1.m

function f=odefun1(t,x)

global a11 a12 a21 a22 b11 b21 Um

u=-Um;

f=-[a11*x(1)+a12*x(2)+b11*u; a21*x(1)+a22*x(2)+b21*u; x(1)];

end

Файл odefun2.m

function f=odefun2(t,x)

global a11 a12 a21 a22 b11 b21 Um t1 t2 T

if t<t1

u=-Um;

elseif t<t2

u=Um;

else

u=-Um;

end

if t>T

u=0;

end

f=[a11*x(1)+a12*x(2)+b11*u; a21*x(1)+a22*x(2)+b21*u; x(1)];

end

Рисунок 2 - Линии переключения x₂=f(x₁)

Выполненные с помощью программы расчеты показали, что набор промежуточных моментов переключения позволяет перевести объект в точку промежуточного финиша с координатами:

x1 =

-0.0028

x2 =

-0.0197

x3 =

0.0470

Фазовая плоскость x₂=f(x₁) представлена на Рисунке 2.

Для определения набора параметров, позволяющих перевести объект управления в заданную точку целесообразно выполнить серию экспериментов в каждом из которых с помощью MATLAB-функции FMINSEARCH выполняется поиск таких параметров t₁ t₂ T, при которых минимизируется расстояние между фактическим положением изображающей точки в момент t=T и точкой промежуточного финиша [0 0 x_3f]. Причем в каждом последующем эксперименте в качестве начальной точки поиска в пространстве t₁t₂T используется результат предыдущего эксперимента, а положение точки промежуточного финиша систематически приближается к заданной конечной точке [0 0 0].

Файл Main2.m

global a11 a12 a21 a22 b11 b21 Um fi t xf x tm

% Параметры математической модели судна

V0=2.57;

L=99.6;

r21=-0.58;

r31=6.16;

q21=0.8;

q31=-7.23;

s21=-0.34;

s31=-3.5;

% Вычисление коэффициентов

Omega=V0/L; %Нормирующая частота

a11=-r31*Omega;

a12=-q31*Omega^2;

a21=-r21;

a22=-q21*Omega;

b11=-s31*Omega^2;

b21=-s21*Omega;

Um=35*pi/180; %ограничение по углу перекладки руля

fi=10*pi/180;

global t x fi

TT=fminsearch('fmsfun1',[ 26.55 56.69 65.5])

x(length(t),1);

x(length(t),2);

x(length(t),3);

Файл fmsfun1.m

function f=fmsfun1(TT)

global tt t x fi Um

tt = TT;

[t,x]=ode23s('odefun3',[0 TT(3)],[0 0 fi]);

f = x(length(t),1)^2+x(length(t),2)^2+x(length(t),3)^2;

for i=1:length(t)

if t(i) < tt(1)

u=-Um;

elseif t(i) < tt(2)

u=Um;

elseif t(i) > tt(2)

u=-Um;

end

if t(i) > tt(3)

u=0;

end

uu(i,1) = u;

end

plot(t, x(:,1),t, x(:,2),t, x(:,3),t, uu(:,1))

legend('x1(t)-уголовая скорость рыскания','x2(t)-угол дрейфа','x3(t)-угол рыскания','u(t)-управляющее воздействие')

grid on;

end

Файл odefun3.m

Рисунок 3 - Фазовые траектории объекта управления

В ходе выполнения данной программы были получены точные моменты переключения времени