book1989

L,(x),	L„_,(x) и представим L„{x) в виде
		Ln (х) = L0 (х) + ^ iL! (*) — Ц -1 (*))•	(12)
		/'=i
Из условий интерполяции (3) получаем, что
		L,-l{xh) = Li{xk) = f{ x k)
при й = 0,	1,	/—1 и /== 1, 2, ..., п. Следовательно,	разность

Lj{х )—С,_,(х) представляет собой алгебраический многочлен сте­

пени /, который обращается в нуль					в точках х0, х„ ...,				х ^ „	т. е.
	Ц (х) —L,_, (х) = Л; (х—х0) (х—Xi)... (х—х,-4) ,								(13)
где Aj— числовой коэффициент.				Этот		коэффициент находится из
условия	Lj (*j) — Lj-i (xj) = A j (xj—x„) (Xj						x , ) . . . (xj	Xj—,),
откуда, учитывая условие Lj(xj) = f( x s),						получаем
			/ (Xj) —		L h l	(Xj)				(14)
			(xj ~ x 0)...(xl —xf_1)m'
Подставим в (14) вместо слагаемого							Lj-iixj) его значение,			вы­
численное согласно			(8), т. е.
L/ - 1 (xi) =
= ' у f (х*)		{Х' ~ Хо) {xi ~ Xl) ■■■(xi ~			Xk~J (Xi ~ Xk"] • ■• (xi ~				*/-i>
		— xo) (*k — x i) ■■• ( * * -			xk -0		(xk — xk+i) ■■■(4 — x i - 1)
Тогда получим
A , =	f (*/)
(xj — xa) ■■■(xj — xj-l)
_ %	ПЧ)
h	i*i-	Xk)	(xk — xo) ■■■(xk — Xk-X) (xk — xk+l) ■■■(xk — Xi - 1)
i	____________________w				____________________
	(X* — Xo) . . . (XA - x ft_ j)			(x* -	x fe K )		. . . ( r /; -	—	X j )

Сопоставляя это выражение с (10), видим, что Л,- совпадает с раз­ деленной разностью /-го порядка:

A j= f (х0, хь ..., Xj).

Отсюда и из (12), (13) приходим к интерполяционной формуле Ньютона

Ln (х) —
= / (*о) + (* — Х0) / (^о. xl) + (X — х0) (х — Xj) / (х0, ХЬ ха) + . . .
... 4- (х — х0) (х — Xi) . . . (х — х„_,) / (х0, х1т .... х„).	(15)
5*	131

Подчеркнем еще раз, что формулы (8) и (15) представляют со­ бой различную запись одного и того же многочлена

йц + й[Л'-(-Й2Л'“ + . . . + Й„Л'',) ’ V

удовлетворяющего условиям интерполяции (2 ). Интерполяционную формулу Ньютона удобнее применять в том

случае, когда интерполируется одна и та же функция f(x), но чис­ ло узлов интерполяции постепенно увеличивается. Если узлы ин­ терполяции фиксированы и интерполируется не одна, а несколько функций, то удобнее пользоваться формулой Лагранжа.

З а м е ч а н и е .	При выводе формулы	(15)	не	предполагалось,	что узлы
Ха, Xi, . . . , хп расположены в каком-то определенном				порядке. Поэтому роль точ­
ки х0 в формуле	(15) может играть любая	из	точек ха, Xi, . . . , х„.		Соответ­

ствующее множество интерполяционных формул можно получить из (15) пере­ нумераций узлов. Например, тот же самый многочлен L„ (х) можно представить в виде

Ln М = / (■'"„) + (''—хп) f (хп> ха-J +

+	(X — Хп) (X — Xn_ J f ( хп ,	Xn_ v	+ . . .
•■•	+ ( * — х„) (X — Xn_ J . . .	( X —	Xt) f (xn, Xn_ x..........A'o).	(16)

Если XoCxt < A'2< . . . < x n, TO (15) называется формулой интерполирования вперед, а (16) — формулой интерполирования назад.

§2. Погрешность интерполирования

1. Остаточный член интерполяционной формулы. Заменяя функ­ цию f(x) интерполяционным многочленом Ln(x), мы допускаем по­ грешность

rn{ x ) = f( x ) —Ln(x),

которая называется п о гр еш н о ст ью и н т е р п о л и р о в а н и я или,	что то
же самое, остаточным ч л е н о м и н т ер п о л я ц и о н н о й ф о р м у л ы .	Ясно,

что в узлах интерполирования эта погрешность равна нулю. Оце­

ним погрешность в любой точке ге [й ,		Ь]. Для этого рассмотрим
вспомогательную функцию
	g { s ) = f ( s ) —Ln(s)— Ka(s),					( 1)
где s e [a , b], К — постоянная и
И (s) = (s—Ха) (s—JCi). . .(s			X	n ) .		(2)
Пусть требуется	оценить rn(x) в заданной			точке		i e [ a , b], не
являющейся узлом	интерполирования.	Выберем постоянную К из
условия g(x) = 0. Для этого достаточно положить
	/ (х) - Ln (х)
	А = ------------- .
	О) (X)
Предположим, что /(s) имеет п + 1		непрерывную				производную
на отрезке	Функция g(s ) имеет не менее п + 2 нулей на
этом отрезке, а именно в точках х, хк, k=0,			1, ...,		п. Поэтому про­
изводная g'(s) имеет не менее чем л + 1 нулей на					[й,	b], g" (s) —
132

не менее п нулей и т. д., функция g,7l+1)(s) по крайней мере один раз обращается в нуль на [а, Ь]. Тем самым существует точка |е [ а , b], в которой g(n+1)( £ ) = 0.

Поскольку

g<M+‘> ( s ) = / (n+I) (s) — (п + 1)!К,

получаем

/<п+1) (|) = L(x). ~ Ln (Х) (п + 1)1 fflW

Таким образом доказано, что погрешность интерполирования

можно представить в виде
f (х) — и			{х) = -	И (X),			(3)
			(«+ 1)!
где |е [ а , b] и оз(х) —многочлен, определенный согласно (2 ).
Отсюда следует оценка			м
				|ю(х)|,			(4)
\ f ( x ) - L a( x ) \ ^ —
где МП11— sup |			(п -г U!	если f(x) — алгебранче-
	(х) | . В частности,
х^[а,Ь]					проведенное по
ский многочлен степени п, то интерполирование,
любым точкам х0, хи ...,		хп, осуществляется точно,				т. е. L„(х) =
= /(* )•
З а м е ч а н и е . Наряду	с	интерполированием		применяют		и	экстраполиро­
вание, т. е. вычисление значений			функции f(x) в точках х е [ а , b]				по приближен­
ной формуле f ( x ) » L n (x),	где		Ln( x ) — интерполяционный		многочлен. Однако

погрешность экстраполирования обычно оказывается существенно большей, чем погрешность интерполирования. К этому выводу можно прийти, рассматривая поведение многочлена а>(х) внутри и вне отрезка [а, Ь].

Поскольку многочлены Лагранжа и Ньютона отличаются толь­ ко формой записи, представление погрешности в виде (3) справед­ ливо как для формулы Лагранжа, так и для формулы Ньютона. Однако погрешность интерполирования можно представить и в дру­ гом виде. Для этого рассмотрим разделенную разность

} (X , X Q , X j, . . . , Х п) —		/(*)	(X — Хп) +
	lx — Х0) (х — А'х) . . .
+	П*о)	. . .	+	НХп)
	(*о — х) (х0 — хд ... (х0 —ХЛ)			(хп— х) (Хп — х0) ... (х„—Хп_г)

имеющую порядок п+1. Отсюда найдем

(х — Xj) (х — Х2) . . .		(X — хп)
f ( x ) = f (х0)		( х 0— хп)
{х0— х1)(х0— х2) . . .
+ П х п )	(х — х0) (х— хг) .			.. (х — Хп_г)
	..........	+
	{хп — *о) (*„ — хр			. .. (Х„ - Xn_J
+ {х — х0) (х —	хг) . .	. (х —	Х п ) / (X, Х 0 , Х 1 г . . .		, Х п ) =
= L n (х) +	(х —	Х 0) (х	— X J)	. . . (х — Х п )	/ (х, х 0, . . . , Х п ) .
					133

Таким образом, погрешность интерполяционной формулы мож­ но представить в виде

f(x)—Ln(x)=a>(x)}(x,	х0, л-„		.... хп).	(5)
Сопоставляя (3) и (5), видим, что существует точка				[а, b], для
которой		c(di-l) /£\
f i x , Х0, Х1.............. Хп) =				6
	'	-	ff .	( )
		(пд- 1)!

Формула (6) устанавливает связь между разделенной раз­ ностью порядка п+ 1 и (л + 1)-й производной функции f(x).

2. Оптимальный выбор узлов интерполирования. Величину |ш(х) |, входящую в оценку (4), можно минимизировать за счет вы­ бора узлов интерполирования. Задача состоит в том, чтобы подо­

брать узлы xk^[a, b], k = 0, 1 , .... п,	так, чтобы минимизировать
величину
шах I (х — х0) {х — x j	... {х — хп) I.
х^[а,Ь]

Эта задача уже рассматривалась в примере 1 из § 5 гл. 2. Она ре­

шается, как мы знаем,		с	помощью	многочлена Чебышева
Тпfi (х) —	(Ь- д)П		cos ((n -ф	1) arccos	2x—(b+ а)
	22П+	1			b — а	(7 )

причем в качестве узлов интерполирования надо взять корни мно­ гочлена (7), т. е. точки

Xk —

При этом

C L - j~ b	I b — CL	(2& -f- 1) n		k = 0, 1, . . . . n.	(8)
------2 -------	---------------- COS	1	------ ,
	2	2 (я +	1)

	max | a (x) | =	(,b -a )n+1
			22Л+1
	x ~ [ a . h ]
и оценка	(4) примет вид
	Mn		(b_a)n+1
	Ifix) — Ln (x) I<		9*/l+l	(9)
	0 +		1) !
3.	О сходимости интерполяционного процесса. Возникает воп­
рос, будет ли стремиться к нулю погрешность				интерполирования

f{x)—Ln(x), если число узлов п неограниченно увеличивать. Ответ, вообще говоря, отрицательный.

Сформулируем определение сходимости интерполяционного про­ цесса. Множество точек х-и i = 0, \, ... , п, таких, что

а ^ х 0< х 1< . . ,< Х < Ь

назовем сеткой на отрезке [а, Ь] и обозначим через Q„. До сих пор предполагалось, что число узлов интерполяции фиксировано. Пере­ ходя к изучению сходимости интерполяционного процесса, необхо-

134

цимо рассмотреть последовательность сеток с возрастающим чис­ лом узлов, а именно последовательность

О0 = {х<0)}, Qi = {411, 4 1’}, . • • , = {4П), х[п\ . . . . 4"’}, •..

Пусть функция f(x) определена и непрерывна на [а, Ь]. Тогда можно задать последовательность интерполяционных многочленов Ln[f(x) ], построенных для функции f(x) по ее значениям в узлах сетки Q„.

Говорят, что интерполяционный процесс для функции f(x) схо­ дится в точке х*е[а, Ь], если существует

lim L* [/(* * )] = /(* * ).

Кроме поточечной сходимости рассматривается сходимость в различных нормах. Например, равномерная сходимость на отрезке

[а, Ь] означает, что

max | f (х) — Ln[/ (*)] | О

х£=[а,Ь1

при п-*-оо.

Свойство сходимости или расходимости интерполяционного про­ цесса зависит как от выбора последовательности сеток, так и от гладкости функции f ( x ) .

Известны примеры несложных функций, для которых интерполяционный процесс расходится. Так, последовательность интерпо-

ляционных многочленов,						построенных
для непрерывной функции f(x) = \х\ по
равноотстоящим				узлам		на		отрезке
[—1 , 1 ], не сходится к функции \х\ ни
в одной точке отрезка [—1 , 1 ], кроме
точек —1, 0, 1 (пример С. Н. Берн­
штейна, см. [24, с. 519]).						На рис. 4 в
качестве иллюстрации изображен гра­
фик	многочлена Ь9(х)					при		по рав­
построенного для функции							\х\
ноотстоящим узлам на отрезке [—1, 1 ].
Более		общее		утверждение				содер­
жится в		т е о р е м е			Ф а б е р а			(дока­
зательство см. в [24, с. 515]): какова									Рис. 4. График интерполяцион­
бы ни была последовательность сеток
Q„,	найдется		непрерывная				на	[а, Ь]	ного многочлена для	функции
									</=М
функция		/(*)	такая,		что		последова­
тельность		интерполяционных						много­
членов Ln[ / ( x ) ]				не сходится к f(x) равномерно на отрезке						[а, Ь].

Для заданной непрерывной функции }{х) можно добиться схо­ димости за счет выбора расположения узлов интерполяции. Спра­

ведлива т е о р е м а	М а р ц и н к е в и ч а	(см. [24, с. 519]): если
f(x) непрерывна на	[а, Ь], то найдется	такая последовательность
		135

сеток, для которой соответствующий интерполяционный процесс сходится равномерно на [а, Ь].

Заметим, что построить такие сетки чрезвычайно сложно и, кро­ ме того, для каждой функции требуется своя сетка. В практике вычислений избегают пользоваться интерполяционными многочле­ нами высокой степени. Вместо этого применяется кусочнополино­ миальная интерполяция, пример которой будет рассмотрен в § 4.

§3. Интерполирование с кратными узлами

1. Интерполяционный многочлен Эрмита. В предыдущих пара­ графах предполагалось, что в узлах интерполяции заданы только значения функции f(x). Более общая постановка задачи интерпо­ лирования состоит в следующем.

В узлах xke [ a , b], k = 0, 1, ..., т, среди которых нет совпадаю­ щих узлов, заданы значения функции f(xh) и ее производных f(l>(xh)

до порядка 7V*-— 1 включительно, t =	1, 2, ..., Nk—1. Таким образом,
в каждой точке xh, k = 0, 1 , ..., т, известны
f(xk), f'(xh),	Г * - 1’ (хк)

и, следовательно, всего известно N0 + Ni + .. .+ Nm величин. Требу­ ется построить алгебраический многочлен Ип{х) степени п= = N0+ Nl+ ... + Мт—I, для которого

tf<4vk)= r > (* k), k = 0, l , . . . , m , г = 0, 1, ..., Nh—1 . (1)

Многочлен Нп{х), удовлетворяющий условиям (1), называется

интерполяционным многочленом Эрмита для функции f(x). Число А\ называется кратностью узла хк.

Докажем, что интерполяционный многочлен Эрмита существует и единствен. Условия интерполяции (1) представляют собой систе­ му линейных алгебраических уравнений относительно коэффициен­ тов а0, ад, ..., ап многочлена

Нп{х) = а 0+ а1 + . . .+ а„хп.

Число уравнений этой системы равно числу неизвестных и равно Лд+ Лд-К. .+ Nm. Поэтому достаточно показать, что однородная си­ стема

H"(xk) = Q,	6 = 0,		1, ... , m,	i = 0, 1, ...	, Nk— 1 ,	(2)
имеет только тривиальное			решение	а0= а, = . . .=	оп = 0.	Nk—1
Группа условий	(2)	при фиксированном k и i=0, 1, ...,
означает, что число хк		является корнем кратности			Nk многочлена

Нп(х). Таким образом,	многочлен Нп(х)	имеет всего с учетом крат­
ности не менее Na+ Nl+ ... + Nm= n + l		корня на [а, Ь]. Поскольку

степень Н„(х) равна п, этот многочлен тождественно равен нулю, следовательно, равны нулю его коэффициенты и однородная систе­ ма уравнений (2 ) имеет единственное решение а0 — а1— ... = ап= 0. Неоднородная система (1 ) однозначно разрешима при любых пра­ вых частях.

136

Поскольку значения /(i)(x*), /г = 0, 1,	m, i = 0, 1,	Л\— 1,
входят только в правую часть системы	(1 ), коэффициенты as мно­
гочлена Нп(х) выражаются линейно через значения / <0(xk),		и этот
многочлен можно представить в виде	линейной комбинации

тN k-'

//„ (* )= 2	2 cki{ x ) f ( x k),
k=0	i —0

где chi(x) — многочлены степени п.

Ввиду громоздкости выражений для cki(x) мы их не приводим. Получим представление для погрешности интерполирования

rn{x)= f(x)—Hn(x).

Для этого рассмотрим, как и в § 2, вспомогательную функцию

	g ( s ) = f( s ) —Hn(s) — Ka(s),			(3)
где К — постоянная и			(s — xm)N'n.
	со (s) = (s — х,,)^ (s — x1)‘v‘ ...			(4)
Постоянную	К выберем так,	чтобы в точке интерполирования х
выполнялось условие g{x) = 0, т. е. положим
		f ( x ) - H n (x)
	А = ----------------- .
		“ 00
Узлы хк являются корнями кратности			Nh функции g(s),	k =
= 1, 2, ...,	т. Кроме того, точка I G [A, b]		является корнем	o(s).
Таким образом, функция g(s)		имеет с учетом кратности Л/ 0+ ЛС + . ..

.. ,+ Nm+ 1= л + 2 корня на отрезке [а, Ь]. По теореме Ролля про­ изводная g' (s) имеет по крайней мере один нуль между двумя со­ седними корнями функции g(s). Следовательно, g'(s) имеет не ме­ нее т + 1 корня на [а, b] в точках, не совпадающих ни с одной из точек х0, хи ..., хт, х. Кроме того, g'(s) имеет в точке хк корень кратности Nk—1, k = 0, 1, ..., т. Таким образом, g'(s) имеет с уче­ том кратности не менее

(Уо—1) +... + (Л/т—1) -г (щ+ 1)= N a + N , +... + Л/т=/г+ 1

корней на [а, Ъ). Аналогично g " (s) имеет не менее п корней и т. д. Производная g(n+1, (s) по крайней мере один раз обращается в нуль

на [а, Ь], т. е. существует точка £ е [а ,		Ь], в которой g(n+1) (|) =		0.
Из	(3) имеем	(s) .
	g<"+0 (S) =/(«+!) (5)
Так	как сo (s)— многочлен степени п+ 1 со старшим		коэффициен­
том	1 , имеем (о(л+1) (s) = (n + 1)! Поэтому из условия		g-("+1,( |) = 0
получаем, учитывая выражение для К,		следующее представление
для погрешности интерполирования:
	f ( x ) - H n(x) = J ^ ^ ( x - x f ° ( x - x , ) v' ... ( х - х т) \			(5)
				137

2. Пример. Пусть Хо<Х]<х2 — точки, в которых заданы значения

f(x0) = f 0, f(xt) = f u f'{xt) = f ‘u f(x2) = f 2. Требуется построить мно­ гочлен третьей степени Н3(х) такой, что

Я3(*0) = Л>.			Hs(Xi) = fu		Н‘3(х1) =	/I,		Ha{xt) = f a.		(6)
Будем искать его в виде
	На (х) =		Со (*) /о + С1 (х) /х + с2 (х) / , -f					bL(х) f[,
где с0(х),	сДх), с2(х), bt(x) — многочлены третьей степени.									Ясно,
что Н3(х)	будет	искомым интерполяционным						многочленом,		если,
потребовать
	с0(х0) =	1 ,	Ci (х0) =	0,	с2 (х0)=	О,		(Д-о) —О»
	с0(*х) =	0,	сг(*j) =	1,	с2 (Xj)=	О,	bi (Xj) =		О,
	с0(**) =	0,	Cj (х2) =	0,	с2 (х2)=	1,	Ьх (*а) =		О,
	Со (Xi) =	0,	сх (Хх) =	0,	с2 (xj) =	О,	ftl(Xx) =		1 .

Найдем многочлены третьей степени, удовлетворяющие пере­ численным требованиям. Поскольку многочлен с0(х) имеет кратный корень в точке х, и простой корень в точке х2, его можно искать в виде

с0(х) = К (х—х,) 2(х—х2) .

Из условия с0(х0) = 1 находим

	К —				*
Таким образом,			(*а —xt)2(х0—х2)
				(х—х,)3(х —х2)
	„ /.Л						(7)
	0			(х0—х2)2(х0 — х2)
Аналогично получаем				(X—Х0) (X—X,)2
	„						(8)
	с2\х ) -			,	w	ч2*
				(х2	— х0) (х2 — Ху)2
	b	(* — х0) (х —хх) (х —х2)					(9)
	1			(Хх —Х2) (хх—х0)
Далее, многочлен сДх) будем искать в виде
	Сх (х) =	(х—х0) (х—х2) (ах + р),
где а и р	— постоянные,	подлежащие				определению. Из	условия
Ci (х,) = 1	находим
	axj + Р =			(*1 — Хо) (*1 — х2)			(10)
Условие с' (x j =0 приводит к уравнению
	(х,—х 0) ( х —x 2) a +			( a X i + p) (2х1—х0—х2)=0.			(П)
138

Из уравнений (10) и (11)

находим

а ■

2 * х —

* о —

Ч

(*1 — Ч ?

(*1 — Х 2 ) 2

(2 *Х— х0 — х2) хх

1+

Таким образом,

(*1 — -«о) (*1 — *2)

(* 1

— *о) (* 1

— *2)

C l ( х ) =

- (* — Х0) (л- — Х2)

{X — Хх) (2 * ! — *0 — х 2)

(12)

(X, — Х0) (*1— х2)

( * 1

— * о ) ( * 1 — * 2)

Искомый интерполяционный многочлен Н3(х)

имеет вид

(Л'о

*l) 3 (лг0

— х2)

+ И

(х — X,) (2 хх — * 0 — *г) \,

(* — *о) (х — х2)

/ (-^I) н-

(*1 — *о) (*! —х2)

j

(Хх — Х„) (*] —Х2)

,

(х — Хр) (х — Хх) 2

f

,

(* — *о)

—

( х

—

Х 2 )

7 'Ю -

(13)

‘

,

. .

,„

/

(*2 —

*о) (*2 — * l)

! ( * 1 —

* 2 )

( * 1 —

А о)

Согласно (5) погрешность интерполирования в случае много­

члена	(13) можно записать в виде
	/ М — н з (*) =	24	~ х<>) (х х (х ~	74)
где	(х0, х2).

Интерполяционный многочлен Эрмита можно построить путем предельного перехода в многочленах Лагранжа и Ньютона. Поясним это на том же при­

мере. Наряду с узлами х0, xi, х2 введем			узел		х3 (отличный от х0, х х, х2)			и по­
строим по узлам *о, *i, *2, х3интерполяционный многочлен Лагранжа
( х — *о) ( х — *,) ( х	— х 2)	^+
L3 (х) =
L(*3 — Х0) (Х3 — X,) (х 3 — х 2 ) '
_ (* — Хр) (X — х 2) ( X	— Х 3 )	+	( X	— Хд) (х — ха) (х — х3)			^ ^
(*1 — *о) (*1 — х 2 ) (Хх —*з) ' ' 1			(*0 — *1) (*о —х2) (*0—*з) '				0
			,	( X	— *о) (X — Хх) (* — *з)			(15)
		-+-----------------------------/ (*2>•
			( х 2 — Х 0 )			(х2 —Хх) (х2— *з)
Получим многочлен (13) путем предельного перехода в (15). Зафиксируем
точки х, х0, х,, х2 и устремим х3 к х\.		Тогда последние два слагаемые перейдут
в пределе в выражение
(х— хх) 2 (х — х2)			(х — х0) (х — хх)а
(*о — *i)a (*о — х2) / (*о) -+			(х2 — х0) (х2 — хх)а					(16)
						f(x 2).
Первые два слагаемые в (15) объединим следующим образом:
(х — х0) (х — х2) /	(х — хх) f (х3)				_	(х — х3) f (хх)	\
*з — *i	(*з — *о) (*з — х2)				(хх — х0) (хх — х2) /
Поскольку при указанном предельном переходе величины х 3—хх и
(х — хх) / (х3)		_		(х — х3) / (хх)				^
(*з — *о) (*з — *2)			(*i — * 0)			(*i — х2)
стремятся к нулю, можно	раскрыть неопределенность вида 0 /0 , воспользовав-
								139

шись правилом Лоииталя. Дифференцируя выражение (17) по х3, получим функцию

/(*.)

(х — Ху) (2х3 — х0 — х2)

' (Хз>

а (х 3) ■-= ■

^2/у__„ \2

(*1 — *о) ( Х у — х 2)

(X3 — X0V

(х3

— х2) 2

,

г (х — *l) (*3 — Хр) (Х3— Х2)

(Х3 - Х 0)2 (Х3 - Х 2)2

!

[ХЗ>'

lim

а (х3) ■

1

(х —

Х у )

(2Ху — х0 — х2)

/ (*l) +

- [ ‘-

(Ху —

— х2)

Хг->

1

(Ху — Х<у) (Ху= 5

Х 0 ) (Ху

(х — Xj) f

(.Ху)

+ ■

— Х2)

(х г — Х0) (X!

Итак,

первые

два слагаемые

в (15) переходят

в

пределе в выражение

(х

Ху\ (2ху — х„ — х2)

J

(* — *о) ( Х —

Х 2 )

[ (Ху) +

(Ху — Х0)

(Ху — Х2)

(Xi — х0) (хх — х2)

+

(х — х0) (х — X,) (х — X»)

(Ху).

--------- — -------- — -------- — /'

(Ху — х„) (х. — х2)

Отсюда и из (16)

получаем многочлен

(10).

§ 4. Интерполирование сплайнами

Интерполирование многочленом Лагранжа или Ньютона на всем отрезке [а, Ь] с использованием большого числа узлов интер­ поляции часто приводит к плохому приближению, что объясняется сильным накоплением погрешностей в процессе вычислений. Кро­ ме того, из-за расходимости процесса интерполяции увеличение числа узлов не обязано приводить к повышению точности. Для того чтобы избежать больших погрешностей, весь отрезок [а, Ь] разби­ вают на частичные отрезки и на каждом из частичных отрезков приближенно заменяют функцию / (х) многочленом невысокой сте­ пени (так называемая кусочно-полиномиальная интерполяция).

Одним из способов интерполирования на всем отрезке является интерполирование с помощью сплайн-функций. Сплайн-функцией или сплайном называют кусочно-полиномиальную функцию, опре­ деленную на отрезке [а, Ь] и имеющую на этом отрезке некоторое число непрерывных производных.

Слово «сплайн» (английское spline) означает гибкую линейку, используемую для проведения гладких кривых через заданные точ­ ки плоскости. Мы не будем придавать слову «сплайн» какого-либо определенного технического смысла.

Преимуществом сплайнов перед обычной интерполяцией явля­ ется, во-первых, их сходимость и, во-вторых, устойчивость процесса вычислений.

В этом параграфе будет рассмотрен частный, но распространен­ ный в вычислительной практике случай, когда сплайн определяется с помощью многочленов третьей степени (кубический сплайн).

140

\A t----VQ)

--- Л2/(Л~Г \и-^{ I ^J

л0 л2 /

138