book1989

(13). Заметим, что вследствие предположения аф 0 характеристи­ ческое уравнение (9) не имеет нулевых корней.

4. Неоднородное разностное уравнение второго порядка. Об­ ратимся снова к неоднородному уравнению

ед-1 —Cjl/j+bjl/j+! = —	(37)
Уравнение	(38)
a}yl- l—cjyj+biyj+! = 0

называется однородным уравнением, соответствующим уравнению (37).

Т е о р е м а 3. Общее решение неоднородного уравнения (37) есть сумма какого-либо его частного решения и общего решения

соответствующего однородного уравнения.				частное	решение
Д о к а з а т е л ь с т в о .	Пусть Yj — какое-либо
неоднородного уравнения	(37) и щ, vs— линейно независимые ре­
шения соответствующего	однородного	уравнения		(38). Тогда об­
щее решение однородного уравнения (38)			имеет вид		где
ai и а 2 — произвольные	постоянные.	Непосредственной			подста­
новкой проверяется, что функция
	У;= Y				(39)
является решением неоднородного уравнения (37). Остается дока­
зать, что функция (39) является общим			решением, т. е. что при
соответствующем выборе	параметров		а 2 любое решение урав­

нения (37) можно записать в виде	(39). Пусть zs — любое реше­
ние уравнения (37). Оно однозначно определяется			заданием на­
чальных условий г0 и Zj. Поэтому	для совпадения		у}, определен­
ного согласно (39), с заданным решением		достаточно потребо­
вать г/о = 2о, yi = Zi, т. е.	Yо,
&IUQ~Y(X2.VO~

alui+a2Vi = zi—Yi.

Рассматривая эти условия как систему уравнений относитель­ но «1, а 2, получаем, что она имеет единственное решение, посколь­

ку определитель
	«О	^0 = w0[u,v]
	a i	Ч
отличен	от нуля в силу линейной независимости		решений	Vj.
Теорема	3 доказана.		можно постро­
Частное решение неоднородного уравнения (37)

ить, если известны линейно независимые решения щ, Vj соответст­

вующего однородного уравнения	(38). Для такого построения при­
меняется метод вариации постоянных.
Напомним метод вариации постоянных на примере дифференциального урав­
нения
</"М = - / ( * ) ■		(40)
Пусть и(х), ц (х )— линейно независимые решения		соответствующего одно­
родного уравнения, т. е.
ц " (* )= 0 ,	и " (х )= 0 .	(41)
		31

Будем искать решение неоднородного уравнения (40) в виде
	t/(jc)= a(x)«(jc) + P(jc)u(jc),					(42)
где а(* ), Р(.г)— функции, подлежащие определению. Для				нахождения функций
<х.(х), p(x)	необходимо получить два уравнения. Первое			из	них	получается из
требования, чтобы производная у'(х) имела вид
	y'(x)=<x(x)u'(x)+$(x)v'(x),					(43)
которое, очевидно, эквивалентно требованию
	a'( x)u (x)+fi'( x)v (x)=0 .					(44)
Второе	уравнение, связывающее а(х)	и РД) ,	получается		в результате под­
становки (42) в исходное уравнение (40). Учитывая (43), (41),						получим
у" {х) = аи" (х) + fir" (х) + а 1 (х) и'(х)+ Р' (х) и' (х) = а ’(х) и' (х) + Р' (x)v'(x).
Следовательно, уравнение (40) будет выполнено, если
	а'(х)и'(х)+ р '( .ф '(х ) = - / ( * ) .					(45)
Из системы уравнений (44), (45) найдем
а' (х)	f(x)v(x)	о/1л	— f (х) и Д)			(46)
	и (лг) v' (х) — и' (х) v (х) ’	Р' М =
			и {х) и' (х) —■и' (х) V (х)

Знаменатель в полученных выражениях отличен от нуля, так как он является определителем Вронского для линейно независимых решений однородного урав­

нения. Из выражений (46) коэффициенты а (х ), р(х)		находятся в квадратурах.
Обращаясь к разностному уравнению (37), будем искать его
решение в виде	у ^ а }щ+$ы,	(47)
где щ, Vj — линейно	независимые решения	соответствующего од­
нородного уравнения	(38) и ajr р,— искомые функции. Потребуем

по аналогии с (43), чтобы разность у,+1—у, представлялась в виде

У ш	Уз VCj (щ+l Hj)	(^;+1	V j) •	(48)
Такое требование эквивалентно выполнению условия
(aj+l—aj)Uj+i+ (pj+i—Pj)Wj+i= 0.				(49)
Далее, из (48) получим
Уз— У i- i = Щ - 1(« г- Щ - i) + P i-1(V j			V j- ,)
или
Уз— y1- l=aJ(uj~ ,«,■_,) + РДщ—■щ_,)—<Pi,				(50)
где <р,= (a —а,-,) (щ—u,_,) + (р—p,_t) (и,—и,_,).				в виде
Для дальнейшего удобно представить уравнение (37)
(щ—Cj+b^yj+bjiy^—у;)—а3{у— r/j-,) = —f}.				(51)
Подставляя в (51) выражения (47), (48), (50) и собирая ко­
эффициенты при cci, Pj,	получим

Щ[(я/ — с/ + bj) и/ -f bj (ui+1— Uj) — а-, (и,-— uhl)] +

+ Р/ [(а/ — ci + bj) Vj + bj (vi+1— Vj) — at (Vj — ум )] +Я/Ф/ = —//.

32

Выражения, стоящие в квадратных скобках, равны нулю, пото­ му что и, и Vj являются решениями однородного уравнения (38). Следовательно, уравнение (37) будет выполнено, если потребо­ вать a.ср;= —f}, т. е.

(а/ — ам ) (tij — uhl) + (Р/ — р/_,) (vf — vhl) = — — . (52)

а /

Поскольку индекс / произволен, уравнение (49) можно переписать в виде

(a —aj-OUj+dij—р,-_,)^ = 0.

(53)

Решая систему уравнений (52), (53), получим

°/ h

(54)

Р/ Р/-1 —

viui - i ~ uivi-i ai

Знаменатель полученных выражений совпадает с определите­ лем OJJ- J K, у] (см. (28)) и согласно лемме 2 не обращается в нуль ни в одной точке /. В результате суммирования каждого из урав­ нений (54) получим

I		A
ai — ао + 2	■ubv		'
k=\ vkuk~i-	kuk-1	ak
l		I I
Pi = Po + 2 vkuk-i
	ukvk~i	ч	‘

Подставляя найденные выражения для ajy р;- в формулу (47), получаем общее решение неоднородного уравнения (37) в виде

У / = 0« / + Ро-’/ +	2	'	к	(55)
*=1	“*-i	уй-1

где а 0, ро — произвольные постоянные и щ, щ— линейно независи­ мые решения однородного уравнения (38).

Отметим, что сумма

Zj= aaUj+p0Vj

является общим решением однородного уравнения (38), а сумма

“/	vi
у / = 2 -	4	(56)
/2 = 1 “ Л - 1	и Л - 1
2 А. А. Самарский, А. В. Гулин		33

— частным решением неоднородного уравнения	(37),	соответству­
ющим значениям а 0= Ро = 0. Следовательно, функция		(55)	являет­
ся общим решением неоднородного уравнения (37).
В заключение параграфа отметим, что многие понятия и резуль­
таты, относящиеся к разностным уравнениям	второго		порядка,
можно обобщить и на разностные уравнения	произвольного по­
рядка (см., например, [35]).

§4. Разностная аппроксимация дифференциальных уравнений

I. Сетки и сеточные функции. Для численного решения диффе­ ренциальных уравнений, обыкновенных и в частных производных, часто применяется метод сеток или разностный метод. В настоя­ щем параграфе поясняются основные идеи разностного метода на самых простых примерах. Систематическое изложение теории раз­ ностных методов содержится в ч. III (см. также [32]).

Сеткой на отрезке [а, Ь] называется любое конечное множест­ во точек этого отрезка. Функция, определенная в точках сетки, на­ зывается сеточной функцией. Будем обозначать через сетку, удовлетворяющую условиям

	a = xa< x i< x 2< ---< x N- i< x N = b,			(1)
и через f i — значение сеточной		функции f ( x )	в точке х,е(о№ т. е.
f i = f ( X i ) . Точки	называются узлами сетки aN. Равномерной
сеткой на [а, Ь] называется множество точек
	(йн= {Xi = a+ih,	i = 0, 1, ...,	N},	(2)

где h= (b—a) IN — шаг сетки.

Рассмотрим задачу о приближенном вычислении производных

функции и ( х ) ,	определенной и непрерывной на отрезке				[а, Ь ] . Бу­
дем считать,	что	и ( х ) обладает	необходимой по ходу		изложения
гладкостью. Введем согласно (2) сетку «ц и обозначим
		щ = и (х1), и- . =		(щ — Ui-J/h,
u x ,i =		(ut+1 — U i)/h ,	и0	= ( u ifl — ui-1)l(2h).
			x ,i

Выписанные здесь разностные отношения называются, соответ­ ственно, левой, правой и центральной разностными производными функции и(х) в точке х = х{. Если точка х{ фиксирована, а шаг h

стремится к нулю (при этом i-»-oo), то каждое из упомянутых раз­ ностных отношений стремится к значению производной функции

и(х)	в точке Xi . Поэтому в качестве приближенного значения
и'(х)	можно взять любое из этих разностных отношений.

Нетрудно получить выражение для погрешности, возникающей при замене дифференциального выражения разностным. Рассмот­ рим, например, левую разностную производную в точке х = х{ и запишем ее в виде

_	и(х) — и(х — h)
x .i	h
34

По формуле Тейлора получим
h2	£ ТЕ (х — h, х),
и (.v — h) = и (х) — ha' (х) + — и"(£),
следовательно,
- у			(3)
Погрешность и -г—и'(х{), возникающая при замене дифферен­
циального выражения и'(х) разностным выражением		их ,,	назы­
вается погрешностью аппроксимации. Из разложения		(3) видно,
что погрешность аппроксимации является	величиной	0(h)	при

h-*-0. В этом случае говорят, что имеет место аппроксимация пер­ вого порядка.

Приведем разложения, аналогичные (3), для других разност­

ных отношений:
их,1 = и’ (хс) + А		и" Й1’),	d-1’ <= (*i, */«).	(4)
и * = и ’ (X,-) +	~ и "	(£?’),	£?’ е (хс-и xUl).	(5)
X,1	О

Из разложения (5) видно, что центральная разностная произ­ водная аппроксимирует и ' ( х ) со вторым порядком и, следователь­ но, является более точным приближением к и ' ( х ) , чем левая или правая разностные производные. В дальнейшем наряду с (3) —

(5) будем использовать менее детальную запись тех же разложе­ ний, а именно

	ux,c — ui + °Ф)>	и*л = ui + 0(h),	и* , = ы' +	О (/а2).
Вторую производную		и" (х) можно	приближенно	заменить в
точке	второй разностной производной
			-2и,	(6)
			А2
Разложение по формуле Тейлора приводит к следующему вы­
ражению для погрешности:
	Ub:ii-	U"(X‘> = ~ U IV (W.		(7)

т. е. имеет место аппроксимация второго порядка.

Мы привели простейшие примеры аппроксимации дифференци­ альных выражений разностными на равномерной сетке. В общем случае погрешность, возникающая в результате замены дифферен­ циального выражения разностным, зависит как от распределения узлов сетки, так и от гладкости функции.

2. Разностная краевая задача. Первая	краевая задача для
уравнения	(8)
u"(x)= —f(x)

состоит в отыскании функции и(х), дважды непрерывно диффе­

2* 35

ренцируемой на интервале (а, Ь), непрерывной на отрезке [а, 6], удовлетворяющей уравнению (8) при ^ е (а , Ь) и дополнительным условиям

		ы(а)=р,1,			ы(Ь)=ц2,						(9)
где pit, |i2 — заданные числа.
Нетрудно построить решение задачи (8), (9)								в виде		квадратур.	Предста­
вим и(х) в виде суммы двух функций:
где		и(х) = н(х) +w(x),
		х е ( а ,		Ь),	о(а) = р,,			u (i) =		p2,	(10)
ь " (х )= 0 ,
w"(x)——/(х),			х е ( й , Ъ),				w ( a ) = w ( b ) = 0 .				(11)
Решением задачи (10) является линейная функция
	v(x) =			Ь— х		х — а					(12)
				------- Щ +		-------- Ц2-
				Ь— а		о — а
Далее, интегрируя уравнение		(11), получим
					t
	w' (t) = w ' (a)				— ^ / (s) ds.
					a
Интегрируя еще раз предыдущее соотношение и учитывая условие											гс’(а)= 0„
получим						/
					х		t
w (х) =		({х — a)а		w'ш (а) — ^\		^\	\ /f (s) ds j| dt.
Из условия ш(Ь)= 0 получаем, что				Ь	, i
w' (а) =			—
			Ь	а	\а		'
и, следовательно,
W (х)											(13)
Решение краевой задачи	(8),	(9)	есть сумма функций					(12)	и	(13).
Для численного	решения			задачи		(8),		(9)	введем на		отрезке

[а, Ь]	равномерную сетку с шагом h согласно (2) и заменим и" (х{)
второй	разностной	производной и-х	Тогда вместо дифференци­
ального уравнения		(8) получим разностное уравнение второго по­
рядка		u(_i - 2и,-+ uUl =	д
		Л2	(14)

Это уравнение можно записать для i= 1, 2, ..., N—1, т. е. во всех внутренних точках сетки соЛ. В граничных точках в соответствии с (9) следует положить

UQ—fit, UN—Ц2«

(15)

36

Таким образом, применение разностного метода позволяет за­ менить исходную дифференциальную задачу (8), (9) системой из (N—1) линейных алгебраических уравнений (14), (15) относи­ тельно неизвестных ut, и2, . ■. , uN-i. Система уравнений (14), (15) называется разностной схемой или разностной краевой задачей, соответствующей исходной дифференциальной задаче (8) — (9). В дальнейшем, чтобы не было путаницы в обозначениях, будем через и(х) обозначать решение дифференциальной задачи и через yi = y(Xi) — решение разностной задачи.

Итак, мы получили разностную схему

(16)

У0—Ць уN —Р-2-

В связи с этой разностной схемой возникают следующие про­ блемы, которые типичны для разностных методов вообще. Во-пер­ вых, необходимо убедиться, что система линейных алгебраических уравнений (16) имеет единственное решение, и указать алгоритм, позволяющий получить это решение. И, во-вторых, надо показать, что при стремлении шага сетки h к нулю решение разностной за­ дачи будет сходиться к решению исходной дифференциальной задачи. Вопросы разрешимости и сходимости разностной задачи (16) будут исследованы в п. 6.

Построим по аналогии с (13) точное решение разностной зада­

чи (16). Представим yt в виде суммы
где	yi= viJrwi,					i =
v xx.i = ®’	i =	1 ,	2 ,	.	. . ,	N —	1 ,	U o	= P	i , Vs = y 2,	( 1 7	)
w xx,i — —	/ / >	/ =	1	. 2	,	. . . .	T V —	1 ,		W0 = WN = 0 .	( 1	8 )
Запишем (17) подробнее:
Vi-,—2Vi+vi+i= 0, i'= l,								2,	...,	N— 1,

^0= p.l, VN=\l2,

и заметим, что соответствующее характеристическое уравнение q2—2q+l=0

имеет кратный корень q=\. Поэтому согласно (25) из § 3, реше­ ние разностной краевой задачи (17) имеет вид

(19)

37

Найдем явное выражение для w{. Для этого перепишем урав­

нение (18) в виде
“Ъ./« — “£./ = — hfi,	j — 1,2......... N — 1,
и просуммируем по / от 1до k. Тогда получим
КУ'	hfi
или
k
Wk^ — Wk — hw-д — h 2 M i,	k = l,2,	— 1.

/=i

Суммируя последнее уравнение no k от 1 до t—1 и учитывая, что

О>о = 0, получим

1 - 1 ft

	га>; = ihw-tl — 2				й 2	hh-
				*=i /=i
Отсюда и из условия wN = 0 находим
				Л ' - 1	ft
	^ . 1 = 7 3 7			2 ^	2
следовательно,				&=L	/=i
				k
Л —1
—2	ft 2	ft//-	2	^ 2	hh > 1-==2- 3- • • • - ^20)
ft=l	/=1		ft=l	; =1
	^	=	7 ^	2	А 2	V /-
				*=i	/=i

Формула (20) является разностным аналогом формулы (13).

3. Некоторые разностные тождества. Для сеточных функций выполняются разностные аналоги некоторых формул дифференци­ ального и интегрального исчисления. Для простоты изложения будем рассматривать равномерную сетку (2). Разностными ана­

логами формулы	дифференцирования	произведения	(uv)' = u'v+
+uv' являются тождества
	(yvk i = y ‘vx,i + v^x.i>
	(yv)x,i = ycvx,c+ yx,iVC+1.		(21)
Суммируя (21) по i от 1 до N—1, получим
	N—l	N- 1
yNVN —г/Л = 2 Ь у р х л + 2 h y x-iVc+1
или	i=l	£=1
N- 1	N
2 hyiVX'i = —2 h y x,iVi + yva.v—y tVt.
38

Учитывая, что

УгЩ=	Щ(у, — уо) +	г\уй=		hv1y - 1+ Ojr/o,
получим	N
N- 1
2 hyiVX'i = — 2		flV^x,C +		— Уои1■
4 = 1	4 = 1
Обозначая		JV-i
	(w, 2) =		hWiZ:<
		2
		N			(22)
	(w, z\ = 2		hw&’
		4 = 1
перепишем последнее тождество в виде
	{у, Vx) = — (V, у-] + yNvN — y0vt.				(23)
Тождество (23) является разностным аналогом формулы инте­
грирования по частям
ь	ь
^ у (х) v' (х) dx = — \j v (х) у’ (.V) dx + y (b) v(b) — y (a) v (а)
а	а

иназывается формулой суммирования по частям.

4.Разностная задача на собственные значения. Задача на соб­

ственные значения

и" (х)+ки(х) =0,			a<x<Zb,			u(a)=u(b)=Q			(24)
имеет решение					nk (х —а)
~ (~Ь~а )	’	U* M	=	sin			k = l , 2,
Рассмотрим на равномерной сетке (2) разностный аналог за­
дачи (24),
У1-1-2 У, + У^ + хМу. =				0'	/	=i , 2,	.	. JV — 1,	(25)
Л2		hN = b—a,			y}=y(Xj)t		x^a + jh .
Уо = г/*= 0,
Система уравнений (25) представляет собой задачу на собствен­
ные значения			A y = lmy
для симметричной матрицы
						0		о-
~~	2	—1	0		0 ...		0
—1		2	—I		о ...	0	0	0
А =	0	— 1	2	—1 ...		0	0	0
_	0	0	0		0 ...	—1	2	—1
	0	0	0		0 ...	0	-1	2_
									39

порядка N—1. Поэтому существует ровно У—1 вещественных соб­

ственных значений k= \, 2, .... N— l, матрицы А. Построим в явном виде собственные значения и собственные функции зада­ чи (25).

Перепишем разностное уравнение (25) в виде
Pi-i—(2—ц)г/;+г/3+1= 0, \i = h2Xm,	(26)
и рассмотрим отвечающее (26) характеристическое уравнение
р2- ( 2 - р ) <7+1=0.	(27)
Общее решение уравнения (26) имеет вид
У/ = С1Й{ + с2Я'2,	(28)

где с,_— произвольные постоянные и qu q2— корни уравнения (27). Из граничных условий ya= yN = 0 получаем

Ci + с2 = 0, ctf* + с2<7^ = 0.

Эта однородная система уравнений имеет нетривиальное реше­ ние при условии

Учитывая, что qiq2 = 1, приходим к условию
		<7^ = 1.				(29)
Отсюда, представляя р, в тригонометрической форме
получим р=1 и		Pi = ре’\
		к = \ , 2,		, N - 1.		(30)
С другой стороны, из уравнения (27) имеем
следовательно,	"‘= 1 —7 +/(‘
		cos <р= 1—0,5ц,
и из (30) получим
р = 2(1 — cos ф) =			4 sin2 — =		4 sin2 — .
				2	2N
Таким образом, собственные числа задачи (25) имеют вид
4'г) =	— sin2 — ,		k =	\,2, .	. N — 1,	(31)
где hN — b—а.	h2	2N
		у, вычисляются			согласно (28),	где с2 =
Собственные функции
= —Ci. Так как р!р2= 1, то
У! =	(Ч[ — Я[) = С (q[ — crj) = Ci (еЧ* — e~^)f
40