24. Классификация потоков жидкости

Типы потоков жидкости

Совокупность элементарных струек жидкости представляет собой поток жидкости. Различают следующие типы потоков (или типы движений жидкости).

Напорные потоки (напорные движения) -  это такие, когда поток ограничен твердыми стенками со всех сторон, при этом в любой точке потока давление отличается от атмосферного обычно в большую сторону, но может быть и меньше атмосферного. Движение в этом случае происходит за счёт напора, создаваемого, например, насосом или водонапорной башней. Давление вдоль напорного потока обычно переменное. Такое движение имеет место во всех гидроприводах технологического оборудования, водопроводах, отопительных системах и т.п.

Безнапорные потоки (безнапорные движения) отличаются тем, что поток имеет свободную поверхность, находящуюся под атмосферным давлением. Безнапорное движение происходит под действием сил тяжести самого потока жидкости. Давление в таких потоках примерно одинаково и отличается от атмосферного только за счет глубины потока. Примером такого движения может быть течение воды в реке, канале, ручье.

Свободная струя не имеет твёрдых стенок. Движение происходит под действием сил инерции и веса жидкости. Давление в таком потоке практически равно атмосферному. Пример свободной струи – вытекание жидкости из шланга, крана и т.п.

25. Вывод дифференциального уравнения движения жидкости (уравнение движения Эйлера).

Пусть имеем бесконечно малый параллелепипед с гранями dxdydz в невязкой жидкости с плотностью ρ. Он заполнен жидкостью и движется как составная часть потока. Какие силы действуют на выделенный объект? Это силы массы и силы поверхностных давлений, которые действуют на dV= dxdydz со стороны жидкости, в которой находится выделенный dV. Как силы массы пропорциональны массе, так и поверхностные силы пропорциональны площадям, на которые оказывается давление. Эти силы направлены к граням вовнутрь по нормали. Определим математическое выражение этих сил.

Назовем, грани параллелепипеда: 1,2 — перпендикулярные к оси ОХ, и параллельные оси ОY, 3,4 — перпендикулярные к оси OY и параллельные оси ОХ, 5,6 — перпендикулярные к оси OZ и параллельные оси ОХ

Теперь нужно определить, какая сила приложена к центру масс параллелепипеда. Для этого рассматриваем произвольную точку из (x + dx, y, z): в этой точке давление есть величина, равная

У массовых сил две составляющие: 1) где ρdxdydz— масса жидкости с плотностью в данном объеме dV, dUx/dt — ускорение центра масс (его проекция наось Х);

2) Fxρdxdydz— проекция на ось Х массовой силы, которая действуют на dVdxdydz, Fx — соответствующая составляющая плотности распределения массовой силы.

Исходим из того, что имеем сплошную среду, следовательно, давление в ней является непрерывной функцией относительно этой среды:

Теперь рассмотрим из грани 2 любые две точки, таким образом разность давлений между ними будет

Здесь мы предположили, что в первой точке давление — ρ; во второй, отстоящей от первой на расстоянии dх – (ρ + дρ/дx dх). Поскольку в рассматриваемых точках координаты y, z одинаковы, то х-вая проекция суммарного давления может быть представлена в виде

Сила, приложенная к центру массы параллелепипеда, которая и заставляет эту жидкость совершать движение, есть сумма найденных сил, т.е.

Получили уравнение движения параллелепипеда с dV₁ по направлению оси Х

Делим на массу ρdxdydz:

Полученная система уравнений есть искомое уравнение движения невязкой жидкости — уравнение Эйлера.

К трем уравнениям добавляются еще два уравнения, поскольку неизвестных пять, и решается система из пяти уравнений с пятью неизвестными: одним из двух дополнительных уравнений является уравнение неразрывности. Еще одним уравнением является уравнение состояния. Например, для несжимаемой жидкости уравнением состояния может быть условие ρ = const. Уравнение состояния должно быть выбрано таким образом, чтобы оно содержало хотя бы одно из пяти неизвестных.

Уравнение Эйлера для разных состояний имеет разные формы записи. Поскольку само уравнение получено для общего случая, то рассмотрим несколько случаев:

1) движение неустановившееся: в этом случае ускорение выделенного параллелепипеда с dV имеет вид (для х-вой компоненты)

Поскольку , имеем

2) жидкость в покое. Следовательно, Ux = Uy = Uz = 0. В таком случае уравнение Эйлера превращается в уравнение равномерной жидкости. Это уравнение также дифференциальноеи является системой из трех уравнений;

3) жидкость невязкая. Для такой жидкости уравнение движения имеет вид где Fl — проекция плотности распределения сил массы на направление, по которому направлена касательная к линии тока; dU/dt — ускорение частицы. Уравнение можно преобразовать и привести в вид: