23. Логарифмічна похідна
В математиці, особливо в математичному і комплексному аналізі логарифмічна похідна фунції f визначається формулою.
де
f
′ похідна
функції f.
Коли f функція f(x) від дійсної змінної x, і приймає дійсні, суворо додатні значення, логарифмічна похідна дорівнює похідній від ln(f); або, похідній натурального логарифма f. Це слідує прямо з ланцюгового правила
Багато властивостей дійсного логарифма також присутні і у логарифмічної похідної, навіть коли функція приймає не тільки додатні дійсні значення. Наприклад, через те, що логарифм добутку дорівнює сумі логарифмів множників
Таким чином для додатньо-дійсних функцій, логарифмічна похідна добутку це сума логарифмічних похідних множників. Але ми також можемо використати тотожність Лейбніца для знаходження похідної добутку
Таким чином, вірно те, що для будь-яких функцій логарифмічна похідна добутку це сума логарифмічних похідної множників (де вони визначені).
Аналогічно, (в дійсності це наслідок), логарифмічна похідна оберненої функції є логарифмічна похідна первісної функції помножена на − 1:
як і у випадку із логарифмом оберненого додатнього числа.
Більш загально, логарифмічна похідна ділення це різниця логарифмічних похідних діленого і дільника:
як і логарифм дробу дорівнює різниці діленого і дільника.
Узагальнюючі в іншому напрямку, логарифмічна похідна степеня (з константним дійсним показником) є добутком показника і логарифмічної похідної основи:
як і логарифм степеня є добутком показника і логарифма основи.
24.Правило Лопіталя.
Розглянемо відношення
,
де функції
і
визначені й диференційовні в деякому
околі точки а,
виключаючи, можливо, саму точку а.
Може бути, що при
обидві функції
і
прямують до 0 або до ,
тобто ці функції одночасно є нескінченно
малими або нескінченно великими
величинами при
.
Тоді говорять, що в точці а
функція f
(x)
має невизначеність виду
.
У цьому випадку,
використовуючи похідні
і
,
можна сформулювати правило для знаходження
границі функції f
(x)
при
,
тобто визначити спосіб для розкриття
невизначеностей виду (4.17).Теорема
(правило
Лопіталя).
Границя відношення двох нескінченно
малих або нескінченно великих функцій
дорівнює границі відношення їхніх
похідних (скінченній або нескінченній),
якщо остання існує.Зауваження.
Якщо
і
при
прямують одно-
часно до 0 або до
і задовольняють ті умови, які були
на-
кладені теоремою на функції
і
,
то до відношення
/
знову застосовуємо правило Лопіталя і
виводимо формулу
25. Похідна оберненої та складної функції Похідна неявно заданої функції та функції,заданої параметрично
Похідна складної
функції. Нехай у
= f
(u),
де
,
тобто
.
Функція f
(u)
називається зовнішньою,
а функція
— внутрішньою,
або проміжним
аргументом.
Теорема
6. Якщо у
= f
(u)
та
— диференційовні функції від своїх
аргументів, то похідна складної функції
існує і дорівнює
.
Таким чином, похідна складної функції дорівнює добутку похідної зовнішньої функції за проміжним аргументом на похідну проміжного аргументу за незалежною змінною.
Похідна оберненої функції. Нехай задані дві взаємно обернені диференційовні функції
у
= f
(х)
та
.
Теорема
7. Похідна
оберненої функції
по змінній у
дорівнює оберненій величині похідної
від прямої функції
.
Похідна
неявної функції. Нехай рівняння F
(x;
y)
= 0 визначає у
як неявну функцію від х.
Надалі будем вважати, що ця функція —
диференційовна.Продиференціювавши за
х
обидві частини рівняння F
(x;
y)
=
0, дістанемо рівняння першого степеня
відносно
.
З цього
рівняння легко знайти
,
тобто похідну неявної функції.Похідна
параметрично заданої функції. Нехай
функцію
від
задано параметричними рівняннями:
.Припустимо,
що функції
мають похідні і що функція
має обернену функцію
,
яка також є диференційовною. Тоді
визначену параметричними рівняннями
функціо-
нальну залежність
можна розглядати як складну функцію
,
(
— проміжний аргумент).
На підставі теорем 6 та 7 маємо:
,
.
Звідки
або
.
26. Диференціал та його геометричний зміст.
Добуток
називається диференціалом
функції у =
f
(х);
його позначають символом dy,
тобто
Добуток F’(x)*x назив. диференціалом ф-ції у=f(x), зображують символом dy, тобто dy=f’(x)* x.
Знайдемо диференціал ф-ції у=х; для цього випадку y’=x’=1, отже dy=dx=x. Таким чином диференціал не залеж змінної збігається з її приростом x. dy=f’(x)dx