- •25. Произведение двух многочленов с целыми коэффициентами.
- •26. Алгебраическая замкнутость поля.
- •27. Основная теорема алгебры.
- •28. Неприводимые над полем комплексных чисел многочлены.
- •29. Неприводимые над полем действительных чисел многочлены.
- •30. Решение уравнений 3 степени. Формулы Кардана.
- •31. Решение уравнений 4 степени. Кубическая резольвента.
- •32. Множество многочленов от нескольких переменных над областью целостности.
- •33. Кольцо многочленов от нескольких переменных над областью целостности.
- •34. Степень многочлена от нескольких переменных.
- •5. Степень произведения многочленов.
- •36. Лексикографическое упорядочение членов многочлена.
- •7. Лемма о высшем члене многочлена.
- •38.Свойства симметрических многочленов.
- •39.Элементарные симметрические многочлены. Теорема Виета.
- •40. Основная теорема о симметрических многочленах.
- •41. Условие при которых многочлены имеют общий корень
- •42. Результант многочленов Решение системы двух уравнений с двумя переменными с помощью результанта.
- •43. Необходимое и достаточное условие существования общего корня у многочленов
36. Лексикографическое упорядочение членов многочлена.
Существует способ расположения членов многочлена от нескольких переменных в определённом порядке. Его называют словарным или лексикографическим упорядочением членов многочлена.
Опишем его:
Пусть –(1)
-(2)– произвольные члены многочлена с ненулевыми коэффициентами.
Мы полагаем, что не содержит подобных членов, поэтому не все соответствующие показатели и равны между собой. Пусть и первые из таких показателей, то есть и = при . Член (1) будем считать выше члена (2) если . Если же , то из двух этих членов будем считать выше член (2). Иначе говоря, из членов (1) и (2) будем считать тот выше, у которого показатель при больше. Если же показатели при равны, то тот из членов будем считать выше у которого показатель при больше и т.д.
При словарном упорядочении членов многочлена первым записывается высший член многочлена, вторым – следующий по высоте и так далее.
7. Лемма о высшем члене многочлена.
Лемма 2.1. (о высшем члене многочлена).
Высший член произведения двух многочленов и , отличных от нуля, равен произведению высших членов этих многочленов.
Доказательство.
Расположим члены в многочленах и в словарном порядке.
;
;
Найдём произведение следующим образом: вначале умножим последовательно все члены многочлена, начиная с первого на первый член многочлена . Очевидно, что при этом словарный порядк расположения членов не нарушится. То есть мы получим группу членов, высшим из которых будет: -(3)’
Далее умножим все члены многочлена на второй член многочлена .
Получим группу членов, высшим из которых будет: -(3) и т.д.
Наконец, все члены многочлена умножим на последний член многочлена Получим группу членов высшим из которых будет:
Очевидно, что высший член произведения следует искать среди высших членов найденных групп. Но они в свою очередь составляют группу членов, полученных последовательным умножением многочлена , начиная с первого, на первый член многочлена . При таком умножении словарный порядок расположения членов не нарушится. Следовательно, высшим членом этой группы будет член (3), он же и будет высшим членом произведения . Следовательно, высший член произведения равен произведению высших членов сомножителей и . Теорема доказана.
38.Свойства симметрических многочленов.
Определение: многочлен из кольца называется симметрическим, если в результате любой перестановки переменных в этом многочлене получается многочлен равный исходному.
Свойства симметрических многочленов:
1. сумма, разность и произведение симметрических многочленов из кольца также являются симметрическими многочленами из этого кольца.
Согласно приведённому свойству множество симметрических многочленов образует подкольцо кольца
2. пусть выражение – (1) является членом симметрического многочлена Тогда членом этого многочлена также является и всякое выражение, полученное из (1) в результате перестановки показателей при переменных.
3. Пусть выражение (1) является высшим членом симметрического многочлена , тогда выполняются неравенства -(2)
До-во. Поменяем местами показатели и в выражении (1). Получим выражение: a - (3), которое согласно предыдущему свойству также является членом многочлена . Так как (1) – высший член многочлена, то, в частности, он выше (2).
Отсюда следует, что Поменяем теперь местами в выражении (1), получим также член многочлена a - (4)
Учитывая, что (1) – высший член многочлена, получаем и т.д. В конечном итоге получим неравенства (2).
до-но.