1.Отображегия. Ф-ции. Важнейшие виды отобр. Элемент.Ф-ции и их граф.
Пусть A, B - произвольные множества и f — закон (правило), по которому каждому элементу a ∈ A ставится в
соответствие единственный элемент b ∈ B. Тогда говорят, что задано отображение f множества A в множество B или
оператор f, переводящий множество A в множество B. Отображение f множества A в B обозначают f : A → B или
Пусть A, B - произвольные множества и f — закон (правило), по которому каждому элементу a ∈ A ставится в
соответствие единственный элемент b ∈ B. Тогда говорят, что задано отображение f множества A в множество B или
оператор f, переводящий множество A в множество B. Отображение f множества A в B обозначают f : A → B или
Пусть A, B - произвольные множества и f — закон (правило), по которому каждому элементу a ∈ A ставится в
соответствие единственный элемент b ∈ B. Тогда говорят, что задано отображение f множества A в множество B или
оператор f, переводящий множество A в множество B. Отображение f множества A в B обозначают f : A → B или
(читается: «f
отображает A в B»).
Элемент b ∈ B, в который отображен a ∈ A, называют образом элемента a при отображении f и обозначают f(a).
Элемент a в этом случае называют прообразом элемента f(a).
Определение отображения коротко записывают в виде:
Определение 1. Отображение f : A → B называют взаимно однозначным или биективным, если каждый элемент
b ∈ B является образом только одного элемента a ∈ A.
Если отображение f : A → B есть взаимно однозначное соответствие между элементами множеств A и B, то можно
говорить об обратном отображении.
Определение2.
Отображение
называют
обратным к отображению f,если
т.е. элементу b ∈
B
ставится в соответствие тот элемент a ∈ A, образом которого при отображении f является b:
Определение 3. Два множества A и B называются эквивалентными (равномощными), если существует хотя бы одно взаимно однозначное отображение одного множества на другое, и обозначаются A ∼ B.
Всякое множество, эквивалентное множеству натуральных чисел, называется счетным. (читается: «f отображает A в B»).
2.Аксиоматика мн-ва действ.Чисел. Важнейш.Класс.Действ.Чисел.
Определение 1. Множество R называется множеством действительных чисел, а его элементы действительными числами, если выполняется следующая система аксиом:
Аксиомы сложения.
(коммутативный
закон)
(ассоциативный закон).
(существование
в R нуля).
(существование в R противоположного элемента).
Аксиомы умножения.
(коммутативный закон).
(ассоциативный закон).
(существование нейтрального элемента).
(существование
обратного элемента).
(дистрибутивный закон относительно сложения).
I
II.
Аксиомы порядка.
Определение 1. Множество X ⊂ R называется ограниченным сверху (снизу), если существует c ∈ R, что x≤c(c≤x)
для ∀x ∈ X.
Определение 2. Множество называется ограниченным, если оно ограничено сверху и снизу. Определение 2 означает, что множество X ограничено в том и только том случае, если оно расположено на некотором конечном промежутке числовой прямой. Определение 3. Элемент a ∈ X называется наибольшим (наименьшим) элементом для множества X, если x≤a
для
∀x
∈
X и обозначается
О
пределение
4. Наименьшее из чисел, ограничивающих
множество X ⊂
R сверху, называется верхней гранью
множества X
(точной верхней гранью) и обозначается
Т
аким
образом, если s = supX, то:
Определение 5.
Наибольшее из чисел, ограничивающих
множество X ⊂
R снизу, называется нижней гранью
множества X и обозначается
Таким образом,
если L
= inf X, то:
Любое ограниченное
сверху множество X ∈
R имеет бесконечно много верхних граней.
В самом деле, если действительное
число M является одной из верхних граней
множества X, то любое действительное
число M’>
M также является верхней гранью множества
X
(так как
